Calcule a integral tripla.
integral triplavarepsilon z^2 d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1, y <= x <= 1,0 <= z <= x y

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado pede: a gente tem que calcular uma integral tripla
integral triplaE z^2,dV
onde
E = (x,y,z)mid 0<= y<=1,;y<= x<=1,;0<= z<= x,y
Isso faz parte de Cálculo Multivariável, mais especificamente de integrais triplas e de usar a regra de Fubini para fazer a “integração iterada”. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Entender como descrever a região E em termos de limites de integração (já dado).
  • Aplicar a regra de Fubini e integrar passo a passo nas variáveis z, x e y.
  • Saber as primitivas:

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral em ordem integral triplaE z^2,dV = integraly=0^1!!integralx=y^1!!integralz=0^,xy z^2,dz,dx,dy , usando os limites de E:
Aqui a ideia é: para cada entre 0 e 1, vai de até 1, e para cada par o vai de 0 até .

Passo 3

Agora integramos em integralz=0^xy z^2,dz = [z^33]0^xy = (xy)^33 = x^3,y^33 , tratando integraly=0^1!!integralx=y^1 x^3y^33,dx,dy e como constantes:
Ficamos com

Passo 4

Tira o 13integraly=0^1!!integralx=y^1 x^3y^3,dx,dy = 13integraly=0^1 y^3 l[x^44r]x=y^1 ,dy = 13integraly=0^1 y^3l(1^44-y^44r),dy = 112integral0^1 y^3(1-y^4),dy pra fora, pois é constante, e integra em :

Passo 5

Agora desdobra e integra em 112integral0^1 (y^3 - y^7),dy = 112l[y^44 - y^88r]0^1 = 112l(14-18r) = 112cdot18 = 196 :

Resposta

boxed196

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