Calcule a integral tripla.
, onde
está abaixo do plano
e acima da região triangular com vértice
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que a gente tem que calcular a integral tripla
onde
é o sólido que fica acima do triângulo no plano
com vértices
,
e
, e abaixo do plano
.
Conteúdo: cálculo de integrais múltiplas (teorema de Fubini), integração iterada, primitiva de e integração por partes. Vamos precisar entender como montar os limites do sólido e depois integrar passo a passo.
Conteúdo: cálculo de integrais múltiplas (teorema de Fubini), integração iterada, primitiva de e integração por partes. Vamos precisar entender como montar os limites do sólido e depois integrar passo a passo.
Passo 2
Primeira coisa: projetar
no plano
. Esse triângulo tem
Pra cada ponto
nessa região,
varia de baixo (plano
) até cima (plano
). Logo
Passo 3
Pelo teorema de Fubini, a integral vira iterada assim:
Passo 4
Agora integramos primeiro em
. A primitiva de é
, então
Fica assim
Passo 5
Em seguida, integramos em
. Como
é constante em
,
Nossa integral reduz para
Passo 6
Vamos dividir em duas partes:
- Calcular
:I1=l[pi x-tfracx^22r]0^pi =pi^2-tfracpi^22 =tfracpi^22
- Calcular
por partes.I1-I2 =pi^22-2 - Tome
, então . - Tome
, então .
A fórmula dá
- Tome
- Avaliando
em e :
em , é ;
em , é . - A segunda parte é
.
Então .
Portanto a integral total vale