Calcule a integral tripla.
integral duplaE sen z d V, onde E está abaixo do plano z=x e acima da região triangular com vértice (0,0,0),(pi, 0,0) e (0, pi, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que a gente tem que calcular a integral tripla
onde integral triplaE sen z ,dV é o sólido que fica acima do triângulo no plano com vértices , e , e abaixo do plano .
Conteúdo: cálculo de integrais múltiplas (teorema de Fubini), integração iterada, primitiva de e integração por partes. Vamos precisar entender como montar os limites do sólido e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Primeira coisa: projetar x>=0, y>=0, x+y<=pi no plano 0<= z<= x . Esse triângulo tem
Pra cada ponto nessa região, varia de baixo (plano ) até cima (plano ). Logo

Passo 3

Pelo teorema de Fubini, a integral vira iterada assim:

Passo 4

Agora integramos primeiro em integral0^xsen z,dz =l[-cos zr]0^x =-cos x-(-cos0) =1-cos x . A primitiva de é integralx=0^piintegraly=0^pi-x(1-cos x),dy,dx , então
Fica assim

Passo 5

Em seguida, integramos em integral0^pi-x(1-cos x),dy =(1-cos x),( pi - x) . Como integral0^pi(1-cos x),(pi - x),dx é constante em ,
Nossa integral reduz para

Passo 6

Vamos dividir em duas partes:
integral0^pi(1-cos x)(pi-x),dx =underbraceintegral0^pi(pi-x),dxI1 ;-;underbraceintegral0^pi(pi-x)cos x,dxI2
  1. Calcular I1=l[pi x-tfracx^22r]0^pi =pi^2-tfracpi^22 =tfracpi^22 :
I2 =(pi-x)sin x|0^pi -integral0^pisin x,(-dx) =(pi-x)sin x|0^pi+integral0^pisin x,dx
  1. Calcular I1-I2 =pi^22-2 por partes.
    • Tome , então .
    • Tome , então .
      A fórmula
  • Avaliando em e :
    em , é ;
    em , é .
  • A segunda parte é .
    Então .
Portanto a integral total vale

Resposta

boxedpi^22-2

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