Calcule a seguinte integral dupla:
integralegral duplaD x y d x d y, onde D=(x, y): 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= raizx.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral dupla integral duplaD x y , dx , dy, onde D = (x,y):0 <= x <= 1, x^2 <= y <= raizx. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas, e vamos usar a integral iterada integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla na forma de integral iterada em y e x:
integral duplaD x y , dx , dy = integral0^1 integralx^2^raizx x y , dy , dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y. Como integral y , dy = y^2/2, temos:
integralx^2^raizx x y , dy = x [y^22]y=x^2^y=raizx = x (x2 - x^42) = x^2 - x^52

Passo 4

Agora resolvemos a integral externa em x. Temos:
integral0^1 x^2 - x^52 , dx = 12 [x^33 - x^66]0^1 = 12 (13 - 16) = 112

Resposta

1/12

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