Calcule a integral tripla.
integralegral triplaE zz^2+x^2 d V, onde
E=(x, y, z) ; 1 <= y <= 4, y <= z <= 4,0 <= x <= z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que o exercício propôs. A gente precisa calcular:
integral triplaE zz^2+x^2 , dV
Onde a região E é definida por:
E = (x, y, z) ; , 1 <= y <= 4, , y <= z <= 4, , 0 <= x <= z
Então, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais triplas, e montar os limites de integração com base na região E .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável:
  • Para y : varia de 1 a 4.
  • Para z : para cada valor de y , z varia de y até 4.
  • Para x : para cada valor de z , x varia de 0 até z .
Com isso, podemos escrever a integral tripla na ordem dx , dz , dy :
integraly=1^4 integralz=y^4 integralx=0^z zz^2+x^2 , dx , dz , dy

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a x primeiro. Observamos que a função a integrar é:
zz^2 + x^2
Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos considerar:
  • u = z^2 + x^2
  • Então, du = 2x , dx
Mas, percebemos que a integral se ajusta melhor para uma substituição trigonométrica. De fato, sabemos que:
integral zz^2 + x^2 , dx = arctan(xz) + C
Portanto, a integral em relação a x fica:
integral0^z zz^2 + x^2 , dx = [ arctan(xz) ]0^z = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0 = pi4

Passo 4

Após integrar em relação a x , nossa integral tripla simplifica para:
integraly=1^4 integralz=y^4 pi4 , dz , dy
Agora, vamos integrar em relação a z :
integralz=y^4 pi4 , dz = pi4 cdot (4 - y)
Então, a integral passa a ser:
integraly=1^4 pi4 (4 - y) , dy

Passo 5

Por último, vamos integrar em relação a y :
integral1^4 pi4 (4 - y) , dy = pi4 integral1^4 (4 - y) , dy
Vamos calcular a integral dentro:
integral (4 - y) , dy = 4y - y^22 + C
Aplicando os limites de 1 a 4:
[ 4y - y^22 ]1^4 = (4 cdot 4 - 4^22) - (4 cdot 1 - 1^22) = (16 - 8) - (4 - 0.5) = 8 - 3.5 = 4.5
Multiplicando pelo fator pi4:
pi4 cdot 4.5 = 9pi8

Resposta

A integral tripla vale:
9pi8

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