Calcule a integral tripla.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que o exercício propôs. A gente precisa calcular:
Onde a região
é definida por:
Então, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais triplas, e montar os limites de integração com base na região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável:
- Para
: varia de 1 a 4. - Para
: para cada valor de , varia de até 4. - Para
: para cada valor de , varia de 0 até .
Com isso, podemos escrever a integral tripla na ordem
:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro. Observamos que a função a integrar é:
Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos considerar:
-
- Então,
Mas, percebemos que a integral se ajusta melhor para uma substituição trigonométrica. De fato, sabemos que:
Portanto, a integral em relação a
fica:
Passo 4
Após integrar em relação a
, nossa integral tripla simplifica para:
Agora, vamos integrar em relação a
:
Então, a integral passa a ser:
Passo 5
Por último, vamos integrar em relação a
:
Vamos calcular a integral dentro:
Aplicando os limites de 1 a 4:
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral tripla vale: