Com relação a solução do problema de valor inicial:
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção: y -infty quando t infty y 1 quando t infty y -1 quando t infty
Nenhuma das demais alternativas y infty quando t infty y 0 quando t infty
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai precisar saber sobre equações lineares com coeficientes constantes e resolver sistemas de equações para achar as constantes da solução. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, temos a equação diferencial:
y'' + 4y' + 3y = 0
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo y por e^rt :
r^2 + 4r + 3 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r .
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
r = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22
Então, as raízes são r = -1 e r = -3 .
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-3t
Onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2 . Primeiro, quando t = 0 :
y(0) = C1 + C2 = 2
E a derivada de y(t) é:
y'(t) = -C1 e^-t - 3C2 e^-3t
Aplicando t = 0 :
y'(0) = -C1 - 3C2 = -1
Passo 7
Temos agora um sistema de equações:
C1 + C2 = 2 -C1 - 3C2 = -1
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, C1 = 2 - C2 . Substituindo na segunda:
Com os valores de C1 e C2 encontrados, a solução particular é:
y(t) = 52 e^-t - 12 e^-3t
Passo 9
Agora, vamos analisar o comportamento dessa solução quando t tende ao infinito ( t infty ). As funções exponenciais e^-t e e^-3t vão para zero conforme t aumenta.