Com relação a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+4 y^prime+3 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=-1
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção:
y -infty quando t infty
y 1 quando t infty
y -1 quando t infty
Nenhuma das demais alternativas
y infty quando t infty
y 0 quando t infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai precisar saber sobre equações lineares com coeficientes constantes e resolver sistemas de equações para achar as constantes da solução. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, temos a equação diferencial:
y'' + 4y' + 3y = 0
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo y por e^rt :
r^2 + 4r + 3 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22
Então, as raízes são r = -1 e r = -3 .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-3t
Onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2 . Primeiro, quando t = 0 :
y(0) = C1 + C2 = 2
E a derivada de y(t) é:
y'(t) = -C1 e^-t - 3C2 e^-3t
Aplicando t = 0 :
y'(0) = -C1 - 3C2 = -1

Passo 7

Temos agora um sistema de equações:
C1 + C2 = 2 -C1 - 3C2 = -1
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, C1 = 2 - C2 . Substituindo na segunda:
-(2 - C2) - 3C2 = -1 Rightarrow -2 + C2 - 3C2 = -1 Rightarrow -2 - 2C2 = -1
-2C2 = 1 Rightarrow C2 = -12
Então, C1 = 2 - (-12) = 52 .

Passo 8

Com os valores de C1 e C2 encontrados, a solução particular é:
y(t) = 52 e^-t - 12 e^-3t

Passo 9

Agora, vamos analisar o comportamento dessa solução quando t tende ao infinito ( t infty ). As funções exponenciais e^-t e e^-3t vão para zero conforme t aumenta.

Resposta

y 0 quando t infty

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