A equação
é dita uma equação diferencial ordinária de
ordem. Quando
vale
e
vale 2 . O volume do cilindro circular reto, cujo raio da base mede
e cuja altura, em metros, é o valor de
quando
, vale, em metros, cúbicos:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
é dita uma equação diferencial ordinária de
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
Além disso, sabemos que quando
, a derivada primeira
vale
e o valor de
é 2. Nosso objetivo é encontrar o valor de
quando
e, com isso, calcular o volume de um cilindro com raio da base
metros e altura igual a esse valor de
.
Para resolver isso, a gente vai precisar integrar a equação diferencial duas vezes e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Depois, com o valor de
, vamos calcular o volume usando a fórmula do volume do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial:
Para integrar isso, é útil usar uma identidade trigonométrica para multiplicar seno e cosseno. A identidade que vamos usar é:
Aplicando isso com
e
:
Então, a nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada
:
Integrando em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Sabemos que
, então:
Calculando os termos:
Portanto:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar novamente para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 6
Agora, usamos a segunda condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Então, a função
completa é:
Passo 7
Agora, queremos encontrar o valor de
quando
:
Sabemos que
para qualquer inteiro
, então:
Passo 8
Agora, vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula do volume
de um cilindro é:
Onde:
-
metros -
Calculando:
Podemos fatorar o 8: