A equação
d^2 yd x^2=13 sen 5 x cos 3 x
é dita uma equação diferencial ordinária de 2^a ordem. Quando x=0, d yd x vale 4348 e y vale 2 . O volume do cilindro circular reto, cujo raio da base mede 2 raiz2 m e cuja altura, em metros, é o valor de y quando x=4 pi, vale, em metros, cúbicos:
Escolha uma opção:
16 pi(2 pi+1)
Nenhuma das demais alternativas
16 pi(pi+1)
8 pi(4 pi+1)
4 pi(4 pi+2)
4 pi(2 pi+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
d^2 yd x^2 = 13 sin 5x cos 3x
Além disso, sabemos que quando x = 0 , a derivada primeira d yd x vale 4348 e o valor de y é 2. Nosso objetivo é encontrar o valor de y quando x = 4pi e, com isso, calcular o volume de um cilindro com raio da base 2raiz2 metros e altura igual a esse valor de y .
Para resolver isso, a gente vai precisar integrar a equação diferencial duas vezes e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Depois, com o valor de y , vamos calcular o volume usando a fórmula do volume do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial:
d^2 yd x^2 = 13 sin 5x cos 3x
Para integrar isso, é útil usar uma identidade trigonométrica para multiplicar seno e cosseno. A identidade que vamos usar é:
sin A cos B = sin(A + B) + sin(A - B)2
Aplicando isso com A = 5x e B = 3x :
sin 5x cos 3x = sin(8x) + sin(2x)2
Então, a nossa equação fica:
d^2 yd x^2 = 13 cdot sin 8x + sin 2x2 = sin 8x + sin 2x6

Passo 3

Agora, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada d yd x :
d^2 yd x^2 = sin 8x + sin 2x6
Integrando em relação a x :
d yd x = integral sin 8x + sin 2x6 , dx + C1
Vamos integrar termo a termo:
integral sin 8x , dx = -cos 8x8
integral sin 2x , dx = -cos 2x2
Então,
d yd x = -cos 8x48 - cos 2x12 + C1

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar C1 . Sabemos que quando x = 0 , d yd x = 4348 :
4348 = -cos 048 - cos 012 + C1
Sabemos que cos 0 = 1 , então:
4348 = -148 - 112 + C1
Calculando os termos:
-148 - 112 = -148 - 448 = -548
Portanto:
4348 = -548 + C1 implies C1 = 4348 + 548 = 4848 = 1
Então, a primeira derivada fica:
d yd x = -cos 8x48 - cos 2x12 + 1

Passo 5

Agora, vamos integrar novamente para encontrar y(x) :
y(x) = integral ( -cos 8x48 - cos 2x12 + 1 ) , dx + C2
Integrando termo a termo:
integral -cos 8x48 , dx = -sin 8x384
integral -cos 2x12 , dx = -sin 2x24
integral 1 , dx = x
Então,
y(x) = -sin 8x384 + -sin 2x24 + x + C2

Passo 6

Agora, usamos a segunda condição inicial para encontrar C2 . Sabemos que quando x = 0 , y = 2 :
2 = -sin 0384 + -sin 024 + 0 + C2 implies C2 = 2
Então, a função y(x) completa é:
y(x) = -sin 8x384 + -sin 2x24 + x + 2

Passo 7

Agora, queremos encontrar o valor de y quando x = 4pi :
y(4pi) = -sin (32pi)384 + -sin (8pi)24 + 4pi + 2
Sabemos que sin (n cdot 2pi) = 0 para qualquer inteiro n , então:
y(4pi) = 0 + 0 + 4pi + 2 = 4pi + 2

Passo 8

Agora, vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula do volume V de um cilindro é:
V = pi r^2 h
Onde:
  • r = 2raiz2 metros
  • h = y(4pi) = 4pi + 2
Calculando:
V = pi (2raiz2)^2 (4pi + 2) = pi (8) (4pi + 2) = 8pi (4pi + 2)
Podemos fatorar o 8:
8pi (4pi + 2) = 8pi cdot 2 (2pi + 1) = 16pi (2pi + 1)

Resposta

16 pi (2 pi + 1)

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