Com relação a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+3 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
y -1 quando t infty
y infty quando t infty
y 1 quando t infty
y 35 quando t infty
y -infty quando t infty

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 5y' + 3y = 0 y(0) = 1 y'(0) = 0
O objetivo é descobrir qual o comportamento que a solução y(t) apresenta quando o tempo t vai para o infinito ( t infty ). Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções baseando-se nas raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação da forma:
y'' + a y' + b y = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, a = 5 e b = 3 , então a equação característica fica:
r^2 + 5r + 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r1 e r2 . A fórmula de Bhaskara nos dá:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 5 , e c = 3 . Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 25 - 12 = 13
Como De<a > 0 , temos duas raízes reais e distintas:
r = -5 pm raiz132
Então,
r1 = -5 + raiz132 e r2 = -5 - raiz132

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Antes de encontrar C1 e C2 , vamos analisar o comportamento das soluções quando t infty . Note que ambas as raízes r1 e r2 são negativas, já que a soma das raízes r1 + r2 = -5 e o produto r1 r2 = 3 são ambas positivas e r1 é maior que r2 .
Sendo assim, e^r1 t e e^r2 t tendem a zero quando t infty , porque a exponencial de um número negativo cresce para zero.

Passo 6

Isso significa que, independentemente dos valores de C1 e C2 , a solução y(t) vai se aproximar de zero conforme t cresce:
limt to infty y(t) = 0

Passo 7

Agora, vamos conferir as opções fornecidas:
  • Nenhuma das demais alternativas
  • y -1 quando t infty
  • y infty quando t infty
  • y 1 quando t infty
  • y 35 quando t infty
  • y -infty quando t infty
Nenhuma dessas opções corresponde ao comportamento que determinamos ( y(t) 0 ).

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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