Com relação a solução do problema de valor inicial:
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas y -1 quando t infty y infty quando t infty y 1 quando t infty y 35 quando t infty y -infty quando t infty
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 5y' + 3y = 0 y(0) = 1 y'(0) = 0
O objetivo é descobrir qual o comportamento que a solução y(t) apresenta quando o tempo t vai para o infinito ( t infty ). Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções baseando-se nas raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação da forma:
y'' + a y' + b y = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, a = 5 e b = 3 , então a equação característica fica:
r^2 + 5r + 3 = 0
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r1 e r2 . A fórmula de Bhaskara nos dá:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 5 , e c = 3 . Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 25 - 12 = 13
Como De<a > 0 , temos duas raízes reais e distintas:
r = -5 pm raiz132
Então,
r1 = -5 + raiz132 e r2 = -5 - raiz132
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Antes de encontrar C1 e C2 , vamos analisar o comportamento das soluções quando t infty . Note que ambas as raízes r1 e r2 são negativas, já que a soma das raízes r1 + r2 = -5 e o produto r1 r2 = 3 são ambas positivas e r1 é maior que r2 .
Sendo assim, e^r1 t e e^r2 t tendem a zero quando t infty , porque a exponencial de um número negativo cresce para zero.
Passo 6
Isso significa que, independentemente dos valores de C1 e C2 , a solução y(t) vai se aproximar de zero conforme t cresce:
limt to infty y(t) = 0
Passo 7
Agora, vamos conferir as opções fornecidas:
Nenhuma das demais alternativas
y -1 quando t infty
y infty quando t infty
y 1 quando t infty
y 35 quando t infty
y -infty quando t infty
Nenhuma dessas opções corresponde ao comportamento que determinamos ( y(t) 0 ).