A densidade do sólido E é dada por rho(x, y, z)=x y z g / cm^3, onde E é o sólido limitado pelas esferas x^2+y^2+z^2=16 e x^2+y^2+z^2=4, restrito ao primeiro octante. Integre a função para obter sua massa em gramas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de um sólido E cuja densidade é dada por rho(x, y, z) = x y z g/cm³. O sólido está limitado entre as esferas x^2+y^2+z^2=16 e x^2+y^2+z^2=4 , e está restrito ao primeiro octante (onde x , y e z são positivos). Para isso, vamos usar o cálculo de integrais triplas em coordenadas esféricas, que é uma ferramenta poderosa para trabalhar com regiões que têm simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas: r (a distância do ponto até a origem), theta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x ) e phi (o ângulo a partir do eixo z ). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
x = r sin phi cos theta
y = r sin phi sin theta
z = r cos phi
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 3

Vamos reescrever a função densidade rho(x, y, z) = x y z em coordenadas esféricas substituindo x , y e z :
rho(r, phi, theta) = (r sin phi cos theta)(r sin phi sin theta)(r cos phi) = r^3 sin^2 phi cos theta sin theta cos phi

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como o sólido está entre as esferas de raio 2 ( r = 2 ) e raio 4 ( r = 4 ), e está no primeiro octante, os limites são:
r: 2 <= r <= 4
phi: 0 <= phi <= pi2
theta: 0 <= theta <= pi2

Passo 5

A fórmula para a massa é a integral tripla da densidade sobre o volume:
M = integral0^pi2 integral0^pi2 integral2^4 rho(r, phi, theta) , dV
Substituindo rho e dV :
M = integral0^pi2 integral0^pi2 integral2^4 r^3 sin^2 phi cos theta sin theta cos phi times r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Simplificando os termos:
M = integral0^pi2 integral0^pi2 integral2^4 r^5 sin^3 phi cos phi sin theta cos theta , dr , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral2^4 r^5 , dr = [ r^66 ]2^4 = 4^6 - 2^66 = 4096 - 646 = 40326 = 672

Passo 7

Agora, integramos em relação a phi :
integral0^pi2 sin^3 phi cos phi , dphi
Fazendo a substituição u = sin phi , du = cos phi , dphi :
integral0^1 u^3 , du = [ u^44 ]0^1 = 14

Passo 8

Por último, integramos em relação a theta :
integral0^pi2 sin theta cos theta , dtheta
Isso é igual a:
12 integral0^pi2 sin 2theta , dtheta = 12 [ -cos 2theta2 ]0^pi2 = 12 ( -cos pi2 + cos 02 ) = 12 ( 12 + 12 ) = 12

Resposta

A massa do sólido E é 672 times 14 times 12 = 84 gramas.

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