A densidade do sólido
é dada por
, onde
é o sólido limitado pelas esferas
e
, restrito ao primeiro octante. Integre a função para obter sua massa em gramas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de um sólido
cuja densidade é dada por
g/cm³. O sólido está limitado entre as esferas
e
, e está restrito ao primeiro octante (onde
,
e
são positivos). Para isso, vamos usar o cálculo de integrais triplas em coordenadas esféricas, que é uma ferramenta poderosa para trabalhar com regiões que têm simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano
a partir do eixo
) e
(o ângulo a partir do eixo
). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função densidade
em coordenadas esféricas substituindo
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como o sólido está entre as esferas de raio 2 (
) e raio 4 (
), e está no primeiro octante, os limites são:
Passo 5
A fórmula para a massa é a integral tripla da densidade sobre o volume:
Substituindo
e
:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
,
:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Isso é igual a:
Resposta
A massa do sólido
é
gramas.