Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina.
Uma lâmina com densidade
de<a(x, y)=x+y, limitada pelo eixo x, a reta x=1 e a curva y=raizx.

Passo 1

O enunciado pede a massa M e o centro de gravidade (bar x,bar y) de uma lâmina com densidade de<a(x,y)=x+y, limitada por
y=0, x=1, y=raizx
O conteúdo necessário é integrar densidades sobre a região
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=raizx
para obter
M=integral duplaRde<a,dA, bar x=1Mintegral duplaRx,de<a,dA, bar y=1Mintegral duplaRy,de<a,dA

Passo 2

Calcular a massa
M=integralx=0^1integraly=0^raizx(x+y),dy,dx
Primeiro o integral interno:
integral0^raizx(x+y),dy =[x,y+tfrac12y^2]0^raizx =xraizx+tfrac12l(raizxr)^2 =x^3/2+tfrac12x
Logo
M=integral0^1l(x^3/2+tfrac12xr),dx =integral0^1x^3/2dx+tfrac12integral0^1x,dx =25+14 =8+520 =1320

Passo 3

Calcular o momento Qx=integral dupla x,de<a,dA:
Qx =integral0^1integral0^raizxx(x+y),dy,dx =integral0^1l[x^2raizx+tfrac12x^2r]dx =integral0^1l(x^5/2+tfrac12x^2r)dx
Assim
integral0^1x^5/2dx=27, integral0^1tfrac12x^2dx=16,
portanto
Qx=27+16 =12+742 =1942
Logo
bar x=QxM =tfrac1942tfrac1320 =1942cdot2013 =190273

Passo 4

Calcular o momento Qy=integral dupla y,de<a,dA:
Qy =integral0^1integral0^raizxy(x+y),dy,dx =integral0^1l[tfrac12x^2+tfrac13x^3/2r]dx
Então
integral0^1tfrac12x^2dx=16, integral0^1tfrac13x^3/2dx=215,
logo
Qy=16+215 =5+430 =930 =310
E
bar y=QyM =tfrac310tfrac1320 =310cdot2013 =613

Resposta

Massa:
M=1320
Centro de gravidade:
l(bar x,bar yr) =l(tfrac190273,tfrac613r)

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