Determine a expansão de Laurent da função dada em torno de cada uma de suas singularidades, especificando o anel no qual ela é válida.
f(z)=1(z-1)(z+i);

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Laurent de
f(z)=1(z-1)(z+i)
em torno de cada singularidade z=1 e z=-i, especificando o anel de convergência em cada caso. O conteúdo usado será decomposição em frações parciais e séries geométricas.

Passo 2

Decompondo em frações parciais temos
1(z-1)(z+i)=Az-1+Bz+i
Igualando numeradores:
A(z+i)+B(z-1)=1Longrightarrow A+B=0, Ai - B=1,
daí B=-A e A(i+1)=1, logo
A=11+i=1-i2, B=-1-i2=i-12
Portanto
f(z)=1-i2,1z-1+i-12,1z+i

Passo 3

Expansão em torno de z=1. Seja w=z-1. Então
1z+i=1w+(1+i) =11+i,11+w1+i =11+isumn=0^infty(-1)^nl(w1+ir)^n,
válida se l|wr|<|1+i|=raiz2. Substituindo em f:
f(z) =1-i2,1w +i-12,11+isumn=0^infty(-1)^nl(w1+ir)^n
Como i-11+i=i, fica
boxed f(z)=1-i2(z-1) +i2sumn=0^infty(-1)^nl(z-11+ir)^n, 0<|z-1|<raiz2

Passo 4

Expansão em torno de z=-i. Seja t=z+i. Então
1z-1=1t-(1+i) =-11+i,11-t1+i =-11+isumn=0^inftyl(t1+ir)^n,
válida se |t|<|1+i|=raiz2. Logo
f(z) =i-12,1t +1-i2l(-11+isumn=0^inftyl(t1+ir)^nr)
Como -1-i1+i=i, obtemos
boxed f(z)=i-12(z+i) +i2sumn=0^inftyl(z+i1+ir)^n, 0<|z+i|<raiz2

Resposta

Em torno de z=1, para 0<|z-1|<raiz2:
f(z)=1-i2(z-1) +i2sumn=0^infty(-1)^nl(z-11+ir)^n
Em torno de z=-i, para 0<|z+i|<raiz2:
f(z)=i-12(z+i) +i2sumn=0^inftyl(z+i1+ir)^n

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