Calcule a integral tripla
integral triplaG 2 x cos z d V
onde G é a caixa retangular definida pelas desigualdades 0 <= x <= 4,0 <= y <= 1,0 <= z <= pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaG2xcos z,dV
onde G é o paralelepípedo definido por
0<= x<=4, 0<= y<=1, 0<= z<=pi2
O conteúdo necessário é o Teorema de Fubini (para passar a integral múltipla a iterada) e o cálculo de integrais simples de polinômio e de cos z.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
integral triplaG2xcos z,dV =integral0^4!integral0^1!integral0^pi/22xcos z,dz,dy,dx
Como o integrando não depende de y, fazemos primeiro
integral0^1dy=1,
ficando
integral triplaG2xcos z,dV =integral0^4!integral0^pi/22xcos z,dz,dx

Passo 3

Agora notamos que 2xcos z é produto de função de x por função de z, então
integral0^4!integral0^pi/22xcos z,dz,dx =l(integral0^42x,dxr)!l(integral0^pi/2cos z,dzr)
Calculamos cada uma:
integral0^42x,dx=l[x^2r]0^4=16,
integral0^pi/2cos z,dz=l[sin zr]0^pi/2=1

Passo 4

Multiplicando os resultados, obtemos
16times1=16

Resposta

O valor da integral é 16.

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