Calcule a integral tripla
onde
é o sólido compreendido pelo plano
, o plano
e o cilindro parabólico
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral tripla
onde
é o sólido limitado por
- o plano superior
, - o plano inferior
, - o cilindro-parabólico
.
O conteúdo envolvido é integração em coordenadas cartesianas e exploração de simetria.
Passo 2
Projetamos
no plano
. Como
impõe
, e o cilindro-parabólico dá
. Assim a projeção
é
Logo podemos escrever
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Restou a integral em
:
Passo 4
Observe que a função
é ímpar em
(ou seja
) e o intervalo de integração é simétrico
. Pela propriedade de integrais de funções ímpares em intervalo simétrico, temos