Calcule a integral tripla
integral triplaG 12 x d V
onde G é o sólido compreendido pelo plano z=2 y, o plano xy e o cilindro parabólico y=1-x^2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral tripla
integral triplaG12x,dV
onde G é o sólido limitado por
  1. o plano superior z=2y,
  2. o plano inferior z=0,
  3. o cilindro-parabólico y=1-x^2.
    O conteúdo envolvido é integração em coordenadas cartesianas e exploração de simetria.

Passo 2

Projetamos G no plano xy. Como 0<= z<=2y impõe y>=0, e o cilindro-parabólico dá y<=1-x^2. Assim a projeção D é
-1<= x<=1, 0<= y<=1-x^2
Logo podemos escrever
integral triplaG12x,dV =integralx=-1^1integraly=0^1-x^2integralz=0^2y12x,dz,dy,dx

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integralz=0^2y12x,dz =12xl[zr]0^2y =12xcdot2y =24xy
Depois em y:
integraly=0^1-x^224xy,dy =24xintegral0^1-x^2y,dy =24xcdot(1-x^2)^22 =12x,(1-x^2)^2
Restou a integral em x:
integral-1^112x,(1-x^2)^2,dx

Passo 4

Observe que a função f(x)=12x,(1-x^2)^2 é ímpar em x (ou seja f(-x)=-f(x)) e o intervalo de integração é simétrico [-1,1]. Pela propriedade de integrais de funções ímpares em intervalo simétrico, temos
integral-1^112x,(1-x^2)^2,dx=0

Resposta

0

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