Considere o sólido delimitado acima pelo plano z=1-x e abaixo pelo retângulo, no plano xy, dado por R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2. Use integral tripla para calcular o seu volume.

Passo 1

O enunciado define um sólido limitado acima pela superfície z = 1 - x e abaixo pelo plano xy sobre o retângulo R = (x,y) mid 0 <= x <= 1,;0 <= y <= 2. Queremos usar integral tripla para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Para cada ponto (x,y)in R, a coordenada z varia de 0 até 1 - x. Assim o volume é
V ;=;integral triplaS dV ;=;integralx=0^1integraly=0^2integralz=0^,1 - x dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^,1 - x dz ;=;1 - x
Fica então
V ;=;integral0^1integral0^2 (1 - x),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^2 (1 - x),dy ;=;2,(1 - x)
Logo
V ;=;integral0^1 2,(1 - x),dx

Passo 5

Finalmente, integramos em x:
integral0^1 2,(1 - x),dx ;=;2[x - x^22]0^1 ;=;2l(1 - tfrac12r) ;=;1

Resposta

O volume do sólido é 1.

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