Considere o campo vetorial
F(x, y)=lang<= 3 x^2+y cos (x, y),(2 y+x cos (x, y)rang<=
Encontre a função potencial de F.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y)=lang<= 3x^2+ycos(xy),;2y+xcos(xy)rang<=
e pede a função potencial. O assunto é campos conservativos: precisamos verificar se vec F é conservativo (ou seja, se existe phi tal que nablaphi=vec F) e então encontrar phi(x,y).

Passo 2

Para verificar que vec F é conservativo, calculamos
P(x,y)=3x^2+ycos(xy), Q(x,y)=2y+xcos(xy)
e conferimos se
partial Ppartial y =partialpartial yl(3x^2+ycos(xy)r) =cos(xy)-xysin(xy),
partial Qpartial x =partialpartial xl(2y+xcos(xy)r) =cos(xy)-xysin(xy)
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, vec F é conservativo em todo R^2.

Passo 3

Como vec F é conservativo, existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x=P(x,y)=3x^2+ycos(xy).
Integramos em relação a x:
phi(x,y) =integrall(3x^2+ycos(xy)r),dx =integral 3x^2,dx+integral ycos(xy),dx =x^3+sin(xy)+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial phipartial y=2y+xcos(xy).
Por outro lado, da expressão de phi temos
partial phipartial y =partialpartial yl(x^3+sin(xy)+h(y)r) =xcos(xy)+h'(y)
Igualando as duas formas de partialphi/partial y:
xcos(xy)+h'(y)=2y+xcos(xy) Longrightarrow h'(y)=2y Longrightarrow h(y)=y^2+C

Resposta

A função potencial é
boxedphi(x,y)=x^3+sin(xy)+y^2+C,
com C constante arbitrária.

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