Calcule as seguintes integrais iteradas:
integral0^1 integral0^1 integral0^pi sen^2 z d z d x d y ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^1integral0^pisin^2z,dz,dx,dy
O conteúdo principal é usar a separabilidade da integral (pois o integrando depende só de z) e a identidade para sin^2z.

Passo 2

Como sin^2z não depende de x nem de y, podemos fatiar a integral assim:
integral0^1!!dx;integral0^1!!dy;integral0^pisin^2z,dz = l(integral0^1dxr)l(integral0^1dyr),underbraceintegral0^pisin^2z,dzI
Como integral0^1dx=1 e integral0^1dy=1, resta calcular
I = integral0^pisin^2z,dz

Passo 3

Para I usamos a identidade
sin^2z = 1-cos(2z)2
Logo
I = integral0^pisin^2z,dz = 12integral0^pil(1-cos(2z)r)dz = 12l[;z - sin(2z)2r]0^pi = 12l(pi - 0r) = pi2

Passo 4

Multiplicando pelos fatores de x e y, que valem 1 cada, concluímos que a integral total é
1cdot 1cdot pi2 = pi2

Resposta

pi2

Exercícios relacionados