Calcule a integral tripla
, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce o sólido
.
é o região sólida limitada pelo cilindro
, e pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre a região sólida
. Essa região é limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam o trabalho com cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. O cilindro
é um cilindro circular reto com raio 1, alinhado ao eixo
. Os planos
e
são as bases inferior e superior do cilindro. Então,
é basicamente um cilindro de altura 1 e raio 1.
Passo 3
Como a região
tem simetria cilíndrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, cada ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura.
Passo 4
Vamos reescrever a função
e os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
A função
fica, em coordenadas cilíndricas:
Agora, os limites de integração:
-
varia de 0 a 1 (raio do cilindro), -
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do cilindro), -
varia de 0 a 1 (altura do cilindro).
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites e calcular:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.