Calcule a integral tripla integralegral duplaB f(x, y, z) d x d y d z, onde f e B são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce o sólido B.
f(x, y, z)=x^2+y^2, B é o região sólida limitada pelo cilindro x^2+y^2=1, e pelos planos z=0 e z=1 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de f(x, y, z) = x^2 + y^2 sobre a região sólida B . Essa região é limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e pelos planos z = 0 e z = 1 . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam o trabalho com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região B . O cilindro x^2 + y^2 = 1 é um cilindro circular reto com raio 1, alinhado ao eixo z . Os planos z = 0 e z = 1 são as bases inferior e superior do cilindro. Então, B é basicamente um cilindro de altura 1 e raio 1.

Passo 3

Como a região B tem simetria cilíndrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, cada ponto é representado por (r, theta, z) , onde:
  • r é a distância do ponto ao eixo z ,
  • theta é o ângulo em torno do eixo z ,
  • z é a altura.

Passo 4

Vamos reescrever a função f(x, y, z) e os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
A função f(x, y, z) = x^2 + y^2 fica, em coordenadas cilíndricas:
f(r, theta, z) = r^2
Agora, os limites de integração:
  • r varia de 0 a 1 (raio do cilindro),
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa ao redor do cilindro),
  • z varia de 0 a 1 (altura do cilindro).
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é r , dr , dtheta , dz .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites e calcular:
integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz = integral0^1 integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta , dz
Simplificando a expressão dentro da integral:
r^2 cdot r = r^3
Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta , dz
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em r :
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
  1. Integral em theta :
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2
  1. Integral em z :
integral0^1 pi2 , dz = pi2 cdot 1 = pi2

Resposta

O valor da integral tripla é pi2 .

Exercícios relacionados