Considere o campo vetorial
F(x, y)=lang<= 3 x^2+y cos (x, y),(2 y+x cos (x, y)rang<=
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F para mover uma partícula ao longo do caminho C com ponto inicial p1(2,0) e ponto final P2(0,4).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=llang<= 3x^2+ycos(xy),,2y+xcos(xy)rrang<=
e pede o trabalho para levar uma partícula de P1(2,0) até P2(0,4) ao longo de um caminho qualquer C. Como parece ser um campo conservativo, vamos verificar se existe função potencial phi tal que
F=nablaphi,
pois então o trabalho será
W=phi(P2)-phi(P1)

Passo 2

Verificamos se F é conservativo comparando as derivadas parciais:
partial F1partial y =partialpartial yl(3x^2+ycos(xy)r) =cos(xy)-xysin(xy),
partial F2partial x =partialpartial xl(2y+xcos(xy)r) =cos(xy)-xysin(xy)
Como partial F1/partial y=partial F2/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) satisfazendo
partial phipartial x =3x^2+ycos(xy)
Integramos em relação a x:
phi(x,y) =integrall(3x^2+ycos(xy)r),dx =x^3+sin(xy)+h(y),
onde h é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo
partial phipartial y =2y+xcos(xy)
temos
partialpartial yl(x^3+sin(xy)+h(y)r) =xcos(xy)+h'(y) =2y+xcos(xy),
logo h'(y)=2y e
h(y)=y^2+C
Desprezando a constante C, fica
phi(x,y)=x^3+sin(xy)+y^2

Passo 5

O trabalho é dado por
W=phi(P2)-phi(P1) =l(phi(0,4)r)-l(phi(2,0)r)
Calculando,
phi(0,4)=0^3+sin(0cdot4)+4^2=16, phi(2,0)=2^3+sin(2cdot0)+0^2=8
Portanto
W=16-8=8

Resposta

8

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