Calcule a integral tripla integral triplaW xx^2+y^2 d V, onde W é o sólido limitado pelas esferas x^2+y^2+z^2= 4 e x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

O enunciado pede
integral triplaWxx^2+y^2,dV
onde W é a casca esférica dada por
4 <= x^2+y^2+z^2<= 9
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais triplas em coordenadas que explorem uma simetria do integrando, aqui podemos usar coordenadas cilíndricas ou esféricas para simplificar.

Passo 2

Vamos usar coordenadas cilíndricas
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
em que
x^2+y^2=r^2, dV = r,dr,dtheta,dz
O integrando fica
xx^2+y^2 = rcosthetar^2 = costhetar,
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xx^2+y^2,dV = costhetar,r,dr,dtheta,dz = costheta,dr,dtheta,dz

Passo 3

Os limites em r,z vêm da casca esférica r^2+z^2in[4,9], mas nota que a parte que depende de theta é
integral0^2picostheta,dtheta = 0
Como esta integral angular anula todo o resultado, a integral tripla é zero.

Resposta

0

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