Calcule a integral tripla onde é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera e os cones e (Resp. .)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
onde é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera e pelos cones e . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução, já que a região é delimitada por uma esfera e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores: (distância até a origem), (ângulo no plano ) e (ângulo em relação ao eixo ). As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Vamos traduzir os limites da região para coordenadas esféricas:
Esfera : Em coordenadas esféricas, isso é simplesmente .
Cone :
Cone :
Primeiro octante: Isso significa que varia de a .
Então, os limites são:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas usando os limites que encontramos:
Explicação: Substituímos por , então . O vem disso, e o é do .
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integral em :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim, a integral fica:
Aplicando os limites de a :
Passo 6
Agora, vamos integrar em :
A integral de é , então:
Sabendo que cospi6 = raiz32 e cospi3 = 12 :
raiz32 - 12 = raiz3 - 12
Passo 7
Por fim, integramos em theta :
integral0^pi2 dtheta = pi2 - 0 = pi2
Resposta
Multiplicando todos os resultados obtidos nos passos anteriores: