Calcule a integral tripla integral triplaD e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V onde D é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=16 e os cones z=raiz3(x^2+y^2) e z=raizx^2+y^23 (Resp. : pi12(raiz3-1)(e^64-1).)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaD e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 , dV
onde D é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=16 e pelos cones z=raiz3(x^2+y^2) e z=raizx^2+y^23 . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução, já que a região D é delimitada por uma esfera e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores: r (distância até a origem), theta (ângulo no plano xy ) e phi (ângulo em relação ao eixo z ). As relações são:
x = r sinphi costheta
y = r sinphi sintheta
z = r cosphi
E o elemento de volume dV em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 3

Vamos traduzir os limites da região D para coordenadas esféricas:
  1. Esfera x^2+y^2+z^2=16 : Em coordenadas esféricas, isso é simplesmente r = 4 .
  2. Cone z=raiz3(x^2+y^2) :
z = raiz3(x^2+y^2) Rightarrow r cosphi = raiz3 r sinphi Rightarrow tanphi = 1raiz3 Rightarrow phi = 30^circ = pi6
  1. Cone z=raizx^2+y^23 :
z = raizx^2+y^23 Rightarrow r cosphi = r sinphiraiz3 Rightarrow tanphi = raiz3 Rightarrow phi = 60^circ = pi3
  1. Primeiro octante: Isso significa que theta varia de 0 a pi2 .
Então, os limites são:
0 <= r <= 4
pi6 <= phi <= pi3
0 <= theta <= pi2

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas usando os limites que encontramos:
integral triplaD e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 , dV = integral0^pi2 integralpi6^pi3 integral0^4 e^r^3 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Explicação: Substituímos x^2+y^2+z^2 por r^2 , então (x^2+y^2+z^2)^3/2 = r^3 . O e^r^3 vem disso, e o r^2 sinphi é do dV .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integral em r :
integral0^4 e^r^3 cdot r^2 , dr
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = r^3 , então du = 3r^2 dr ou du3 = r^2 dr . Assim, a integral fica:
integral e^u cdot du3 = 13 e^u + C = 13 e^r^3 + C
Aplicando os limites de 0 a 4 :
13 ( e^4^3 - e^0 ) = 13 ( e^64 - 1 )

Passo 6

Agora, vamos integrar em phi :
integralpi6^pi3 sinphi , dphi
A integral de sinphi é -cosphi , então:
-cosphi |pi6^pi3 = -( cospi3 - cospi6 ) = cospi6 - cospi3
Sabendo que cospi6 = raiz32 e cospi3 = 12 :
raiz32 - 12 = raiz3 - 12

Passo 7

Por fim, integramos em theta :
integral0^pi2 dtheta = pi2 - 0 = pi2

Resposta

Multiplicando todos os resultados obtidos nos passos anteriores:
13 ( e^64 - 1 ) times raiz3 - 12 times pi2 = pi12 ( raiz3 - 1 ) ( e^64 - 1 )
Então, a integral tripla vale:
pi12 ( raiz3 - 1 ) ( e^64 - 1 )

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