Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y^prime+y=11+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = 11 + e^2x
O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante para equações da forma
y' + p(x),y = q(x)

Passo 2

Identificamos p(x)=1. O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^x y' + e^x y = e^x 11+e^2x
O lado esquerdo fica a derivada de y,e^x, isto é,
ddxl(y,e^xr) = e^x1+e^2x

Passo 3

Precisamos então integrar
integral e^x1+e^2x,dx
Fazemos a substituição u = e^x, daí du = e^x,dx. A integral vira
integral du1+u^2 = arctan(u) + C = arctanl(e^xr) + C
Logo
ddxl(y,e^xr) = e^x1+e^2xLongrightarrow y,e^x = arctanl(e^xr) + C

Passo 4

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = e^-x,arctanl(e^xr) + C,e^-x

Resposta

y(x) = e^-x,arctanl(e^xr) + C,e^-x,
em que C é constante arbitrária.

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