Resolva as integrais:
integral d xx^3+3 x^2

Passo 1

O enunciado pede calcular integral dxx^3+3x^2. O conteúdo aqui é integração de frações racionais e vamos precisar de fatoração do polinômio no denominador e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3+3x^2 ;=; x^2(x+3)
Portanto podemos escrever
1x^2(x+3) =Ax+Bx^2+Cx+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Expandindo,
Igualando coeficientes de potências de :
Da terceira equação segue , logo . Finalmente .

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral dxx^2(x+3) =integrall(-tfrac19x+tfrac13x^2+tfrac19(x+3)r),dx
Agora integramos termo a termo:
-tfrac19integral dxx +tfrac13integral dxx^2 +tfrac19integral dxx+3
Isso resulta em
-tfrac19ln|x| +tfrac13l(-tfrac1xr) +tfrac19ln|x+3| + C =tfrac19lnl|tfracx+3xr|-tfrac13x+C

Resposta

19lnl|x+3xr| - 13x + C

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