Encontre a solução do sistema de equações
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares não homogêneo
O conteúdo aqui é sistemas lineares de ODE: a solução geral é a soma da solução da parte homogênea
com uma solução particular
.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial
Para achar
Xh resolvemos
X' = A,X . Os autovalores saem de
portanto
Passo 3
Para cada autovalor achamos um autovetor.
- Se
, a equaçãolambda=lambda1=tfrac3+raiz132 leva a(A-lambda1 I)v=0 Tomamos(2-lambda1)v1 -3v2 =0 ;Longrightarrow; v2 = 2-lambda13v1 = 1-raiz136v1 .v^(1)=l(1,,(1-raiz13)/6r) - Se
, analogamentelambda=lambda2=tfrac3-raiz132 v^(2)=l(1,,(1+raiz13)/6r)
Passo 4
A solução geral da parte homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 5
Para achar uma solução particular constante
Da segunda equação (y_p = x_p]. Substituindo na primeira:
Passo 6
Somando homogênea e particular, a solução geral do sistema é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.