Encontre a solução do sistema de equações
l x^prime=2 x-3 y+1 y^prime=-x+y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares não homogêneo
x' = 2x - 3y + 1, y' = -,x + y
O conteúdo aqui é sistemas lineares de ODE: a solução geral é a soma da solução da parte homogênea Xh com uma solução particular Xp.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial
X' = A,X + b, A = 2 & -3 -1 & 1,; b = 10
Para achar Xh resolvemos X' = A,X. Os autovalores saem de
det(A - lambda I) = det2-lambda & -3 -1 & 1-lambda = (2-lambda)(1-lambda)-3 = lambda^2 -3lambda -1 = 0,
portanto
lambda1,2 = 3 pm raiz132

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor.
  1. Se lambda=lambda1=tfrac3+raiz132, a equação (A-lambda1 I)v=0 leva a (2-lambda1)v1 -3v2 =0 ;Longrightarrow; v2 = 2-lambda13v1 = 1-raiz136v1 Tomamos v^(1)=l(1,,(1-raiz13)/6r).
  2. Se lambda=lambda2=tfrac3-raiz132, analogamente v^(2)=l(1,,(1+raiz13)/6r)

Passo 4

A solução geral da parte homogênea é
com constantes arbitrárias.

Passo 5

Para achar uma solução particular constante
Da segunda equação (y_p = x_p]. Substituindo na primeira:

Passo 6

Somando homogênea e particular, a solução geral do sistema é
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

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