Resolva a equação
com
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é “formas diferenciais exatas e fator integrante”. Vamos verificar se é exata e, se não for, procurar um fator integrante adequado.
O conteúdo aqui é “formas diferenciais exatas e fator integrante”. Vamos verificar se é exata e, se não for, procurar um fator integrante adequado.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos
como
, a forma não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante do tipo
que não tem solução simultânea real. Logo não há fator integrante puramente monomial (x{a}y{b}].
Passo 4
Tentamos um fator integrante que dependa apenas da combinação homogênea
. De fato, com muito trabalho (ou usando um CAS), chega-se ao fator
isto é, multiplicamos a equação original por
.
Passo 5
Multiplicando por
, obtemos
que agora é exata. Integramos
em relação a
:
Depois igualamos
a
e obtemos
Por separação em
e
(agora
é tratado como parâmetro), chegamos a
Portanto
Passo 6
A solução geral implícita é
Aplicando a condição
, temos