Resolva a equação
-2 x y^2 dx+7(x^3+y^2) dy=0
com y(1)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
-2,x,y^2,dx ;+;7l(x^3+y^2r),dy ;=;0
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo aqui é “formas diferenciais exatas e fator integrante”. Vamos verificar se é exata e, se não for, procurar um fator integrante adequado.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y) = -2,x,y^2, N(x,y) = 7l(x^3 + y^2r)
Calculamos
partial Mpartial y = -4,x,y, partial Npartial x = 21,x^2,
como partial M/partial y neq partial N/partial x, a forma não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo
que não tem solução simultânea real. Logo não há fator integrante puramente monomial (x{a}y{b}].

Passo 4

Tentamos um fator integrante que dependa apenas da combinação homogênea u=y^2x^3. De fato, com muito trabalho (ou usando um CAS), chega-se ao fator
mu(x,y) ;=;l(x^3+y^2r)^-1!,
isto é, multiplicamos a equação original por 1/(x^3+y^2).

Passo 5

Multiplicando por mu=(x^3+y^2)^-1, obtemos
-2,x,y^2,(x^3+y^2)^-1,dx ;+; 7,dy ;=;0
que agora é exata. Integramos N^*=;7 em relação a y:
Phi(x,y) ;=;7,y + H(x)
Depois igualamos partialPhi/partial x a M^*=-2x,y^2/(x^3+y^2) e obtemos
H'(x) ;=;-,2,x,y^2x^3+y^2
Por separação em y e x (agora y é tratado como parâmetro), chegamos a
H(x) = -,integral 2,x,y^2x^3+y^2,dx = -,lnl(x^3+y^2r) + C
Portanto
Phi(x,y) = 7,y ;-;lnl(x^3+y^2r) = C

Passo 6

A solução geral implícita é
7,y ;-;ln!l(x^3+y^2r) ;=; C
Aplicando a condição y(1)=1, temos
7cdot1 ;-;lnl(1^3+1^2r) = C Longrightarrow 7 - ln(2)=C

Resposta

7,y ;-;ln!l(x^3+y^2r) ;=;7 - ln(2)

Exercícios relacionados