Calcule a integral tripla , em que E é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico e e pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro parabólico e , além dos planos e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para resolver isso. Precisaremos entender como determinar os limites de integração para , e com base nas superfícies que delimitam .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região no plano . Temos as curvas e . Essas duas curvas se intersectam nos pontos onde e . Vamos resolver isso para encontrar os limites:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Quando , e quando , . Então, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual curva está acima ou à direita da outra entre e . Observando:
Para , a curva está abaixo de (obtida rearranjando para ).
Portanto, para cada entre 0 e 1, varia de até .
Passo 4
Agora que temos os limites de e , vamos determinar os limites de . O sólido é limitado pelos planos e . Logo, para cada ponto na base, varia de 0 até .
Passo 5
Agora podemos montar a integral tripla. A ordem de integração será , , :
Passo 6
Vamos resolver a integral interna com respeito a :