Calcule a integral tripla integral triplaE x y d V, em que E é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico y=x^2 e x=y^E e pelos planos z=0 e z=x+y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaE x y , dV, onde E é o sólido limitado pelo cilindro parabólico y = x^2 e x = y^2, além dos planos z = 0 e z = x + y. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para resolver isso. Precisaremos entender como determinar os limites de integração para x, y e z com base nas superfícies que delimitam E.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região E no plano xy. Temos as curvas y = x^2 e x = y^2. Essas duas curvas se intersectam nos pontos onde y = x^2 e x = y^2. Vamos resolver isso para encontrar os limites:
y = x^2
x = y^2
Substituindo y da primeira equação na segunda:
x = (x^2)^2
x = x^4
x^4 - x = 0
x(x^3 - 1) = 0
x = 0 ou x = 1
Quando x = 0, y = 0 e quando x = 1, y = 1. Então, os pontos de interseção são (0, 0) e (1, 1).

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual curva está acima ou à direita da outra entre x = 0 e x = 1. Observando:
  • Para 0 <= x <= 1, a curva y = x^2 está abaixo de y = raizx (obtida rearranjando x = y^2 para y = raizx).
Portanto, para cada x entre 0 e 1, y varia de x^2 até raizx.

Passo 4

Agora que temos os limites de x e y, vamos determinar os limites de z. O sólido é limitado pelos planos z = 0 e z = x + y. Logo, para cada ponto (x, y) na base, z varia de 0 até x + y.

Passo 5

Agora podemos montar a integral tripla. A ordem de integração será z, y, x:
integral triplaE x y , dV = integral0^1 integralx^2^raizx integral0^x + y x y , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna com respeito a z:
integral0^x + y x y , dz = x y [ z ]0^x + y = x y (x + y)
Agora, substituímos na integral:
integral0^1 integralx^2^raizx x y (x + y) , dy , dx

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
x y (x + y) = x^2 y + x y^2
Então, a integral fica:
integral0^1 integralx^2^raizx (x^2 y + x y^2) , dy , dx

Passo 8

Primeiro, integramos com respeito a y:
integralx^2^raizx x^2 y , dy = x^2 [ y^22 ]x^2^raizx = x^2 ( (raizx)^22 - (x^2)^22 ) = x^2 ( x2 - x^42 ) = x^32 - x^62
integralx^2^raizx x y^2 , dy = x [ y^33 ]x^2^raizx = x ( (raizx)^33 - (x^2)^33 ) = x ( x^3/23 - x^63 ) = x^5/23 - x^73
Somando as duas partes:
x^32 - x^62 + x^5/23 - x^73

Passo 9

Agora, integramos com respeito a x de 0 a 1:
integral0^1 ( x^32 - x^62 + x^5/23 - x^73 ) , dx
Integrando cada termo:
12 cdot x^44 - 12 cdot x^77 + 13 cdot x^7/27/2 - 13 cdot x^88
Simplificando:
x^48 - x^714 + 2 x^7/221 - x^824 g|0^1
Substituindo x = 1 e x = 0:
( 18 - 114 + 221 - 124 ) - 0 = 18 - 114 + 221 - 124

Resposta

Calculando os termos:
18 - 114 + 221 - 124 = 21168 - 12168 + 16168 - 7168 = 21 - 12 + 16 - 7168 = 18168 = 328
Então, o valor da integral tripla é 328.

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