Encontre o sup e inf em R dos conjuntos (ou seja considere-os como subconjuntos de R ):
A2=q in Q: q<0 e q^2<2;

Passo 1

O enunciado define
A2 = ,qinQmid q<0 e q^2<2
e pede sup(A2) e inf(A2) como subconjunto de R.
Para isso vamos usar a definição de supremo (menor de todos os limites superiores) e ínfimo (maior de todos os limites inferiores) em R, além da densidade dos racionais.

Passo 2

A condição q<0 e q^2<2 equivale a
-raiz2<q<raiz2 e q<0,
logo apenas o ramo negativo vale, de modo que
A2 = qinQmid -raiz2<q<0 = (-raiz2,0)capQ

Passo 3

Para o supremo: qualquer qin A2 satisfaz q<0, logo 0 é uma cota superior em R.
Se houvesse uma cota superior u<0, pela densidade dos racionais existiria qinQ tal que u<q<0, o que contradiz u ser cota.
Portanto
sup(A2) = 0

Passo 4

Para o ínfimo: qualquer qin A2 satisfaz q>-raiz2, então -raiz2 é uma cota inferior em R.
Se existisse uma cota inferior v>-raiz2, pela densidade dos racionais apareceria qinQ com -raiz2<q<v, contra v ser cota.
Logo
inf(A2) = -raiz2

Resposta

sup(A2) = 0
inf(A2) = -raiz2

Exercícios relacionados