Encontre o sup e inf em
dos conjuntos (ou seja considere-os como subconjuntos de
):
;
Passo 1
O enunciado define
e pede
e
como subconjunto de
.
Para isso vamos usar a definição de supremo (menor de todos os limites superiores) e ínfimo (maior de todos os limites inferiores) em , além da densidade dos racionais.
Para isso vamos usar a definição de supremo (menor de todos os limites superiores) e ínfimo (maior de todos os limites inferiores) em
Passo 2
A condição
e
equivale a
logo apenas o ramo negativo vale, de modo que
Passo 3
Para o supremo: qualquer
satisfaz
, logo
é uma cota superior em
.
Se houvesse uma cota superior , pela densidade dos racionais existiria
tal que
, o que contradiz
ser cota.
Portanto
Se houvesse uma cota superior
Portanto
Passo 4
Para o ínfimo: qualquer
satisfaz
, então
é uma cota inferior em
.
Se existisse uma cota inferior , pela densidade dos racionais apareceria
com
, contra
ser cota.
Logo
Se existisse uma cota inferior
Logo