Calcule integral tripla(9-x^2-y^2) d V, onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I = integral triplaBl(9 - x^2 - y^2r),dV,
onde B é a bola de raio 5 centrada na origem. O conteúdo aqui é usar coordenadas esféricas, pois a região é uma bola e a função depende de x^2+y^2, que em esféricas vira rho^2sin^2phi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
e o elemento de volume é
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Além disso x^2+y^2=rho^2sin^2phi.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
I = integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi!integralrho=0^5 l(9 - rho^2sin^2phir),rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Podemos separar as integrais em theta, phi e rho:
I = l(integral0^2pidthetar) l(integral0^pil(9rho^2sinphi - rho^4sin^3phir)dphir) l(integral0^5!rho^2,drhor),
mas note que rho aparece dentro da integral em phi, então primeiro fazemos as integrais angulares e depois a de rho.

Passo 5

Calcular as integrais em theta e phi:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2, integral0^pisin^3phi,dphi = 43
Logo dentro de phi e theta temos
2pil(9rho^2cdot2 ;-;rho^4cdot43r) =2pil(18rho^2 - tfrac43rho^4r)

Passo 6

Agora integral em rho:
I = 2pi integral0^5l(18rho^2 - tfrac43rho^4r)drho =2pil[18cdotrho^33 - tfrac43cdotrho^55r]0^5
Isso dá
2pil[6cdot125 - tfrac415cdot3125r] =2pil[750 - tfrac1250015r] =2pil[750 - tfrac25003r] =2pil(-tfrac2503r)

Passo 7

Multiplicando:
I = -500pi3

Resposta

-500pi3

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