Use um argumento de séries geométricas para determinar se as seguintes séries convergem. Caso convirjam, calcule sua soma

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty (-7)^n6^n+1
e, se convergir, calcular a soma. O conteúdo é série geométrica, cujo teste de convergência se baseia na razão r: a série
sumn=1^infty a1,r^,n-1
converge se, e somente se, lvert rrvert<1, e então sua soma é a11-r.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em forma geométrica. Para n>=1,
an = (-7)^n6^n+1 = 16,gl(-76gr)^n
Assim isso é uma série geométrica de coeficiente inicial
a1 = (-7)^16^2 = -736
e razão
r = -76

Passo 3

Aplicando o critério de convergência para séries geométricas: precisamos verificar lvert rrvert<1. Aqui
lvert rrvert = llvert -76rrvert = 76 > 1

Passo 4

Como lvert rrvert>1, a série geométrica não converge.

Resposta

A série diverge.

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