Calcule integral triplaD raizx^2+y^2 d x d y d z onde D é a região delimitada pelos planos z=0 e z=5 e pelos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral tripla: integral triplaD raizx^2+y^2 , dx , dy , dz. A região D é delimitada pelos planos z=0 e z=5, além dos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9. Isso envolve cálculo multivariado, especificamente o uso de coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas temos as relações:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
e o elemento de volume vira dV = r , dr , dtheta , dz. A função que estamos integrando, raizx^2+y^2, simplifica para r em coordenadas cilíndricas. Então, a nossa integral fica:
integral triplaD r cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaD r^2 , dr , dtheta , dz

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração.
  • Para z, está claro que varia de 0 a 5.
  • Para r, como estamos entre os cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9, temos r indo de 2 a 3 (já que r = raizx^2+y^2).
  • Para theta, completamos uma volta completa ao redor do cilindro, então de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, montamos a integral com os limites determinados:
integral0^2pi integral2^3 integral0^5 r^2 , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral na ordem dz, depois dr, e por fim dtheta.

Passo 5

Integrando em relação a z:
integral0^5 r^2 , dz = r^2 cdot z g|0^5 = r^2 cdot 5 = 5r^2
Agora a integral fica:
integral0^2pi integral2^3 5r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Integrando em relação a r:
integral2^3 5r^2 , dr = 5 cdot r^33 g|2^3 = 53 (27 - 8) = 53 cdot 19 = 953
Agora, a integral se reduz a:
integral0^2pi 953 , dtheta

Passo 7

Por fim, integrando em relação a theta:
953 cdot theta g|0^2pi = 953 cdot 2pi = 190pi3

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac190pi3.

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