Calcule onde é a região delimitada pelos planos e e pelos cilindros e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral tripla: . A região é delimitada pelos planos e , além dos cilindros e . Isso envolve cálculo multivariado, especificamente o uso de coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração corretos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas temos as relações:
e o elemento de volume vira . A função que estamos integrando, , simplifica para em coordenadas cilíndricas. Então, a nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração.
Para , está claro que varia de a .
Para , como estamos entre os cilindros e , temos indo de a (já que ).
Para , completamos uma volta completa ao redor do cilindro, então de a .
Passo 4
Agora, montamos a integral com os limites determinados:
Vamos resolver a integral na ordem , depois , e por fim .