Calcule o volume do sólido no primeiro octante situado abaixo do plano , exterior ao cilindro e interior ao parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume de uma região no primeiro octante (onde ) que está abaixo do plano, fora do cilindro e dentro do paraboloide. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e paraboloides.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Passo 3
Vamos definir os limites de integração:
Para : Como estamos no primeiro octante, varia de a .
Para : O cilindro se transforma em . Como queremos estar fora desse cilindro, vai de até o limite definido pelo paralelismo com o paraboloide e o plano.
Para : A parte inferior é o paraboloide e a superior é o plano .
Então, os limites são:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume :