Calcule o volume do sólido no primeiro octante situado abaixo do plano z = 4, exterior ao cilindro x^2 + y^2 = 1 e interior ao parabolóide z = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume de uma região no primeiro octante (onde ) que está abaixo do plano , fora do cilindro e dentro do paraboloide . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e paraboloides.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Vamos definir os limites de integração:
  • Para : Como estamos no primeiro octante, varia de a .
  • Para : O cilindro se transforma em . Como queremos estar fora desse cilindro, vai de até o limite definido pelo paralelismo com o paraboloide e o plano.
  • Para : A parte inferior é o paraboloide e a superior é o plano .
Então, os limites são:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume :
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Agora, integramos em relação a :
Calculando os limites:
Para :
Para :
Então:
Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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