Calcule integral triplaD 1(x+y+z+1)^3 d x d y d z sabendo que a região de integração D está delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo múltiplo juntos! A gente precisa calcular a integral tripla . A região está delimitada pelos planos coordenados (ou seja, os eixos , e ) e pelo plano . Para isso, vamos usar conceitos de integrais múltiplas e mudança de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Como está limitada pelos planos coordenados e pelo plano , isso forma um tetraedro no primeiro octante. Ou seja, todos os , e são maiores ou iguais a zero, e a soma deles não passa de 1.

Passo 3

Vamos simplificar a integral usando uma mudança de variáveis. Vamos definir uma nova variável . Isso vai facilitar a resolução porque o denominador da nossa função a integrar é exatamente uma função de .

Passo 4

Com a mudança de variável , precisamos expressar a integral em termos de e das outras variáveis. No entanto, para simplificar, vamos usar coordenadas somatórias. Vamos considerar , e . Isso nos ajuda a descompor a integral em limites mais fáceis de manejar.

Passo 5

Determinar os limites de integração com as novas variáveis. Sabendo que e , temos:
  • varia de 0 a 1,
  • Para cada , varia de 0 a ,
  • E para cada , varia de 0 a .

Passo 6

Calcular o Jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 1 nos ajuda a ajustar a medida de volume na nova coordenada:
Nesse caso, o Jacobiano é 1, o que simplifica nossa calculação.

Passo 7

Reescrever a integral tripla na nova coordenada:
integral triplaD 1(u + 1)^3 cdot J , du , dv , dw = integral0^1 integral0^u integral0^v 1(u + 1)^3 , dw , dv , du
Como o integrando não depende de e , podemos integrar facilmente.

Passo 8

Integrar em relação a integral0^v 1(u + 1)^3 , dw = v(u + 1)^3 :
integral0^1 integral0^u v(u + 1)^3 , dv , du
Agora, a integral fica:

Passo 9

Integrar em relação a integral0^u v(u + 1)^3 , dv = 1(u + 1)^3 cdot u^22 :
integral0^1 u^22(u + 1)^3 , du
Agora, a integral restante é:

Passo 10

Para resolver u^2(u + 1)^3 = (u + 1 - 1)^2(u + 1)^3 = (u + 1)^2 - 2(u + 1) + 1(u + 1)^3 = 1u + 1 - 2(u + 1)^2 + 1(u + 1)^3 , vamos simplificar a fração:
12 integral0^1 ( 1u + 1 - 2(u + 1)^2 + 1(u + 1)^3 ) du
Então, a integral fica:

Passo 11

Integrar cada termo separadamente:
12 [ ln(u + 1) + 2u + 1 - 12(u + 1)^2 ]0^1
Calculando nos limites:
Para ln(2) + 22 - 12(2)^2 = ln(2) + 1 - 18 :
ln(1) + 21 - 12(1)^2 = 0 + 2 - 12
Para ( ln(2) + 1 - 18 ) - ( 2 - 12 ) = ln(2) + 1 - 18 - 2 + 12 = ln(2) - 1 + 38 :
12 ( ln(2) - 58 ) = ln(2)2 - 516
Subtraindo:
Multiplicando por :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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