Calcule sabendo que a região de integração está delimitada pelos planos coordenados e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo múltiplo juntos! A gente precisa calcular a integral tripla . A região está delimitada pelos planos coordenados (ou seja, os eixos , e ) e pelo plano . Para isso, vamos usar conceitos de integrais múltiplas e mudança de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Como está limitada pelos planos coordenados e pelo plano , isso forma um tetraedro no primeiro octante. Ou seja, todos os , e são maiores ou iguais a zero, e a soma deles não passa de 1.
Passo 3
Vamos simplificar a integral usando uma mudança de variáveis. Vamos definir uma nova variável . Isso vai facilitar a resolução porque o denominador da nossa função a integrar é exatamente uma função de .
Passo 4
Com a mudança de variável , precisamos expressar a integral em termos de e das outras variáveis. No entanto, para simplificar, vamos usar coordenadas somatórias. Vamos considerar , e . Isso nos ajuda a descompor a integral em limites mais fáceis de manejar.
Passo 5
Determinar os limites de integração com as novas variáveis. Sabendo que e , temos:
varia de 0 a 1,
Para cada , varia de 0 a ,
E para cada , varia de 0 a .
Passo 6
Calcular o Jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano nos ajuda a ajustar a medida de volume na nova coordenada:
Nesse caso, o Jacobiano é 1, o que simplifica nossa calculação.
Passo 7
Reescrever a integral tripla na nova coordenada:
integral triplaD 1(u + 1)^3 cdot J , du , dv , dw = integral0^1 integral0^u integral0^v 1(u + 1)^3 , dw , dv , du
Como o integrando não depende de e , podemos integrar facilmente.
Passo 8
Integrar em relação a integral0^v 1(u + 1)^3 , dw = v(u + 1)^3 :
integral0^1 integral0^u v(u + 1)^3 , dv , du
Agora, a integral fica:
Passo 9
Integrar em relação a integral0^u v(u + 1)^3 , dv = 1(u + 1)^3 cdot u^22 :