Se a equação diferencial abaixo determina a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples, tomando como referência a posição de equilíbrio. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período do movimento.
y'' + 3y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que descreve o Movimento Harmônico Simples (MHS) de um bloco. O enunciado nos dá a equação e as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a amplitude, a frequência, a fase e o período desse movimento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e propriedades dos movimentos oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Essa é uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica associada: .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, quando :
Então, .

Passo 5

Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando a condição inicial :
Então, .

Passo 6

Com e , a solução particular é:

Passo 7

Para encontrar a amplitude , usamos a fórmula:

Passo 8

A frequência angular já identificamos na solução : .

Passo 9

A frequência é dada por:

Passo 10

O período é o inverso da frequência:

Passo 11

Por fim, a fase pode ser encontrada usando:
Então, (considerando o quadrante correto).

Resposta

A amplitude do movimento é , a frequência é Hz, a fase é radianos e o período é segundos.

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