Se a equação diferencial abaixo determina a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples, tomando como referência a posição de equilíbrio. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que descreve o Movimento Harmônico Simples (MHS) de um bloco. O enunciado nos dá a equação
e as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a amplitude, a frequência, a fase e o período desse movimento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e propriedades dos movimentos oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Essa é uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica associada:
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, quando
:
Então,
.
Passo 5
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando a condição inicial
:
Então,
.
Passo 6
Com
e
, a solução particular é:
Passo 7
Para encontrar a amplitude
, usamos a fórmula:
Passo 8
A frequência angular
já identificamos na solução
:
.
Passo 9
A frequência
é dada por:
Passo 10
O período
é o inverso da frequência:
Passo 11
Por fim, a fase
pode ser encontrada usando:
Então,
(considerando o quadrante correto).
Resposta
A amplitude do movimento é
, a frequência é
Hz, a fase é
radianos e o período é
segundos.