Se a equação diferencial
determina a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples, tomando como referência a posição de equilíbrio. Determine
(a) A amplitude, a frequência, a fase e o período do movimento;
(a) A amplitude, a frequência, a fase e o período do movimento;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação é:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir quatro coisas sobre esse movimento: a amplitude, a frequência, a fase e o período. Para isso, vamos usar conceitos de MHS e resolver a equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação característica da equação diferencial dada. A equação geral para MHS é:
Comparando com a nossa equação
, percebemos que:
Aqui,
é a frequência angular do movimento.
Passo 3
Agora, vamos escrever a solução geral da equação diferencial. Para MHS, a solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno:
Substituindo
:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com os valores de
e
determinados, nossa solução fica:
Podemos reescrever essa expressão na forma de amplitude e fase (
) para facilitar a identificação dos parâmetros solicitados.
Usando a identidade trigonométrica:
Onde:
Então,
E a fase
é dada por:
Passo 6
Agora, vamos resumir os parâmetros:
- Amplitude (
): 2 - Frequência angular (
): rad/s - Fase (
): radianos - Período (
): segundos
A frequência (
) é o inverso do período:
Resposta
A amplitude do movimento é 2, a frequência é
rad/s, a fase é
radianos e o período é
segundos.