Se a equação diferencial
x'' + 3x = 0, x(0) = 1, x'(0) = 3
determina a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples, tomando como referência a posição de equilíbrio. Determine
(a) A amplitude, a frequência, a fase e o período do movimento;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação é:
com as condições iniciais e . Nosso objetivo aqui é descobrir quatro coisas sobre esse movimento: a amplitude, a frequência, a fase e o período. Para isso, vamos usar conceitos de MHS e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação característica da equação diferencial dada. A equação geral para MHS é:
Comparando com a nossa equação , percebemos que:
Aqui, é a frequência angular do movimento.

Passo 3

Agora, vamos escrever a solução geral da equação diferencial. Para MHS, a solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno:
Substituindo :
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .
Agora, vamos derivar para encontrar :
Substituindo e :
Resolvendo para :

Passo 5

Com os valores de e determinados, nossa solução fica:
Podemos reescrever essa expressão na forma de amplitude e fase ( ) para facilitar a identificação dos parâmetros solicitados.
Usando a identidade trigonométrica:
Onde:
Então,
E a fase é dada por:

Passo 6

Agora, vamos resumir os parâmetros:
  • Amplitude ( ): 2
  • Frequência angular ( ): rad/s
  • Fase ( ): radianos
  • Período ( ): segundos
A frequência ( ) é o inverso do período:

Resposta

A amplitude do movimento é 2, a frequência é rad/s, a fase é radianos e o período é segundos.

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