Calcule integral triplaD x^3 y^2 z d x d y d z, onde D é a região determinada pelas desigualdades 0 <= x <= 1,0 <= y <= x e 0 <= z <= x y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla integral triplaD x^3 y^2 z , dx , dy , dz, onde a região D é definida pelas desigualdades 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x e 0 <= z <= xy. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas, que nos permite calcular o volume ou outras propriedades de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar configurando a integral tripla de acordo com os limites dados:
integral triplaD x^3 y^2 z , dx , dy , dz = integralx=0^1 integraly=0^x integralz=0^xy x^3 y^2 z , dz , dy , dx
Aqui, integramos primeiro em relação a z, depois em relação a y e, por fim, em relação a x.

Passo 3

Primeiro, vamos integrar em relação a z:
integralz=0^xy x^3 y^2 z , dz
Nesse caso, trata-se de uma integral simples de z:
x^3 y^2 integral0^xy z , dz = x^3 y^2 [ 12 z^2 ]0^xy = x^3 y^2 ( 12 (xy)^2 ) = 12 x^5 y^4

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na integral e integramos em relação a y:
12 integraly=0^x x^5 y^4 , dy
Isso fica:
12 x^5 integral0^x y^4 , dy = 12 x^5 [ 15 y^5 ]0^x = 12 x^5 cdot 15 x^5 = 110 x^10

Passo 5

Por fim, integramos em relação a x:
110 integralx=0^1 x^10 , dx = 110 [ 111 x^11 ]0^1 = 110 cdot 111 = 1110

Resposta

O valor da integral tripla é 1110.

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