Use o método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver uma equação diferencial usando o método de Variação de Parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é a nossa equação homogênea. Para encontrar a solução geral dessa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica para essa equação homogênea é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Onde
,
, e
.
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 5
Como a equação característica tem uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método de Variação de Parâmetros. A equação completa é:
Sabemos que a solução geral será
.
Passo 7
No método de Variação de Parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são as soluções da equação homogênea, que já conhecemos:
Passo 8
Para encontrar
e
, precisamos resolver o sistema:
Onde
.
Passo 9
Calculando as derivadas:
Então, nosso sistema fica:
Passo 10
Podemos resolver esse sistema usando determinantes (Regra de Cramer). Calculando o determinante
(Wronskiano):
Passo 11
Agora, encontramos
e
:
Passo 12
Integrando para encontrar
e
:
Vamos resolver essas integrais.
Passo 13
Para
:
Podemos ignorar a constante de integração aqui, pois ela será absorvida na solução geral.
Passo 14
Para
, usamos integração por partes:
Deixamos
e
. Então,
e
.
Aplicando:
Então,
Passo 15
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Substituindo:
Simplificando:
Combina termos semelhantes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.