Use o método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
(d) y'' + 2y' + y = 3e^(-t) ln(t)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver uma equação diferencial usando o método de Variação de Parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é a nossa equação homogênea. Para encontrar a solução geral dessa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica para essa equação homogênea é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Onde , , e .
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 5

Como a equação característica tem uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de Variação de Parâmetros. A equação completa é:
Sabemos que a solução geral será .

Passo 7

No método de Variação de Parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são as soluções da equação homogênea, que já conhecemos:

Passo 8

Para encontrar e , precisamos resolver o sistema:
Onde .

Passo 9

Calculando as derivadas:
Então, nosso sistema fica:

Passo 10

Podemos resolver esse sistema usando determinantes (Regra de Cramer). Calculando o determinante (Wronskiano):

Passo 11

Agora, encontramos e :

Passo 12

Integrando para encontrar e :
Vamos resolver essas integrais.

Passo 13

Para :
Podemos ignorar a constante de integração aqui, pois ela será absorvida na solução geral.

Passo 14

Para , usamos integração por partes:
Deixamos e . Então, e .
Aplicando:
Então,

Passo 15

Agora, substituímos e na expressão de :
Substituindo:
Simplificando:
Combina termos semelhantes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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