Calcule
integral triplaE y d V
onde E é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver aquele exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular integral triplaE y , dV, onde E é um tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=3. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região E e aplicar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro E. Ele está no primeiro octante porque x, y e z são todos maiores ou iguais a zero. O quarto plano, x+y+z=3, corta os eixos x, y e z nos pontos (3,0,0), (0,3,0) e (0,0,3), respectivamente. Isso significa que nossa região vai de 0 até 3 em cada eixo, mas com a restrição x+y+z <= 3.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. Podemos integrar em ordem dz, dy, dx. Para um x fixo, y vai de 0 até 3 - x. Para um y fixo, z vai de 0 até 3 - x - y. E x varia de 0 a 3. Então, nossa integral fica:
integral0^3 integral0^3 - x integral0^3 - x - y y , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a z. A função a ser integrada é y, que é constante em relação a z. Então a integral fica:
integral0^3 - x - y y , dz = y cdot z gr|0^3 - x - y = y(3 - x - y)

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral dupla e integramos em relação a y:
integral0^3 - x y(3 - x - y) , dy
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral0^3 - x (3y - xy - y^2) , dy
Integrando termo a termo:
3y^22 - xy^22 - y^33 gr|0^3 - x
Substituindo y = 3 - x:
3(3 - x)^22 - x(3 - x)^22 - (3 - x)^33

Passo 6

Agora, simplificamos essa expressão:
Primeiro, fatoramos (3 - x)^22:
(3 - x)^22(3 - x) - (3 - x)^33 = (3 - x)^32 - (3 - x)^33 = (12 - 13)(3 - x)^3 = 16(3 - x)^3

Passo 7

Agora, voltamos à integral em relação a x:
integral0^3 (3 - x)^36 , dx = 16 integral0^3 (3 - x)^3 , dx
Fazemos a substituição u = 3 - x, então du = -dx. Quando x=0, u=3 e quando x=3, u=0:
16 integral3^0 u^3 (-du) = 16 integral0^3 u^3 , du
Integrando:
16 cdot u^44 gr|0^3 = 124 [81 - 0] = 8124 = 278

Resposta

O valor da integral integral triplaE y , dV é 278.

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