onde é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver aquele exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular , onde é um tetraedro limitado pelos planos , , e . Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e aplicar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro . Ele está no primeiro octante porque , e são todos maiores ou iguais a zero. O quarto plano, , corta os eixos , e nos pontos , e , respectivamente. Isso significa que nossa região vai de 0 até 3 em cada eixo, mas com a restrição .
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. Podemos integrar em ordem , , . Para um fixo, vai de 0 até . Para um fixo, vai de 0 até . E varia de 0 a 3. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a . A função a ser integrada é , que é constante em relação a . Então a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral dupla e integramos em relação a y: