Calcule I=integral triplaQ z y d V em coordenadas cilíndricas, onde é a região limitada pelo plano x y, isto é, z=1, e pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2= 16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla I=integral triplaQ z,y,dV, onde Q é a região limitada pelo plano z=1, pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=16. Vamos usar coordenadas cilíndricas para montar e avaliar essa integral.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dV = r,dr,dtheta,dz
Nesse sistema o integrando z,y vira
z,y = z,(rsintheta)
e o elemento de volume acrescenta mais um r, totalizando r^2 zsintheta.
Precisamos agora estabelecer os limites de integração. A lateral vem do cilindro r=4, mas o paraboloide intercepta o plano z=1 quando
r^2 = 1Longrightarrow r = 1
Para r>1 não há região entre z=r^2 e z=1. Logo o domínio efetivo é
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi, r^2 <= z <= 1

Passo 3

A integral fica então
I = integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=r^2^1 l(r^2 z sinthetar),dz,dr,dtheta
Podemos separar a parte angular:
Repare que
integral0^2pi sintheta,dtheta = 0
Como o integrando é produto de sintheta por funções de r e z, toda a integral anula-se. Portanto final_answer":“0”

Exercícios relacionados