Considere a integral integralR integral e^y-xy+x d x d y, em que R é a região do plano x y delimitada e compreendida entre as retas x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0. Faça o que se pede:
(a) Obtenha x e y em função de novas variáveis e calcule o determinante Jacobiano relativo a ela. Sugestão: Considere: u=y-x e v=y+x. Resp.: J=-1 / 2.
(b) Reescreva e represente a região de integração nas novas coordenadas e determine os limites de integração.
(c) Utilize o Teorema da Mudança de Variáveis para calcular a integral. Resp.: 3/4( e-e^-1)

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaR e^y-x,y+x,;dx,dy
sobre a região R limitada pelas retas x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0. Vamos usar a mudança de variáveis
u = y - x, v = y + x
para simplificar o expoente.

Passo 2

Invertendo a transformação e calculando o Jacobiano:
x = v - u2, y = v + u2
A matriz Jacobiana partial(x,y)partial(u,v) é
partial xpartial u&partial xpartial v[6pt] partial ypartial u&partial ypartial v = -tfrac12 & tfrac12[3pt] tfrac12 & tfrac12 ,
cujo determinante é
J = -tfrac12
]

Passo 3

As fronteiras em (u,v) são dadas por:
  • x>=0implies v-u2>=0implies v>= u.
  • y>=0implies v+u2>=0implies v>= -u.
  • 1<= x+y<=2implies 1<= v<=2.
Logo, para cada vin[1,2], temos -v<= u<= v.

Passo 4

Pela mudança de variáveis,
integral duplaR e^y-xy+x,dx,dy = integral duplaS e^,u/v;l|Jr|,du,dv = tfrac12integralv=1^2integralu=-v^v e^u/v,du,dv
Calculando a integral interna:
integralu=-v^ve^u/v,du = vl(e^1-e^-1r)
Então
tfrac12integral1^2 vl(e-e^-1r),dv = tfrac12,(e-e^-1)[tfracv^22]1^2 = tfrac12,(e-e^-1)cdottfrac32 = tfrac34,(e-e^-1)

Resposta

34,(e - e^-1)

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