Considere a integral , em que é a região do plano delimitada e compreendida entre as retas e . Faça o que se pede:
(a) Obtenha e em função de novas variáveis e calcule o determinante Jacobiano relativo a ela. Sugestão: Considere: e . Resp.: .
(b) Reescreva e represente a região de integração nas novas coordenadas e determine os limites de integração.
(c) Utilize o Teorema da Mudança de Variáveis para calcular a integral. Resp.: 3/4(
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
sobre a região limitada pelas retas , , e . Vamos usar a mudança de variáveis
para simplificar o expoente.
Passo 2
Invertendo a transformação e calculando o Jacobiano:
A matriz Jacobiana é
cujo determinante é
J = -tfrac12
]
Passo 3
As fronteiras em (u,v) são dadas por:
x>=0implies v-u2>=0implies v>= u.
y>=0implies v+u2>=0implies v>= -u.
1<= x+y<=2implies 1<= v<=2.
Logo, para cada vin[1,2], temos -v<= u<= v.
Passo 4
Pela mudança de variáveis,
integral duplaR e^y-xy+x,dx,dy = integral duplaS e^,u/v;l|Jr|,du,dv = tfrac12integralv=1^2integralu=-v^v e^u/v,du,dv