Usando coordenadas esféricas, calcule as integrais a seguir:
(a) integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 x^2+y^2+z^2 d z d y d x
(b) integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d x d y
Resp.: a. 128 pi5(2 raiz2-2) b. 4 pi(2-raiz2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais triplas em coordenadas cartesianas, mas aproveitaremos as coordenadas esféricas para simplificar. No item (a) vamos integrar a função x^2+y^2+z^2 sobre o corpo limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pela esfera x^2+y^2+z^2=8. No item (b) vamos integrar raizx^2+y^2+z^2 sobre a parte do hemisfério de raio 2 que fica no primeiro octante entre as direções theta=0 e theta=pi/4.

Passo 2

Para (a), note que z=raizx^2+y^2 é o cone varphi=pi/4 e x^2+y^2+z^2=8 é a esfera rho=2raiz2. Não há outra restrição em theta, então
block_formula1
onde
block_formula2
Assim, a integral vira
block_formula3

Resposta

(a) dfrac128pi5,(2raiz2-2)
(b) pi

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