Calcule integral triplaS sen(z) d x d y d z sendo S=(x, y, z) mid 0 <= z <= 4 x^2+4 y^2, 0 <= x <= y <= raiz1-x^2, x <= raiz2 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaSsen(z),dx,dy,dz
no domínio
S=(x,y,z)mid 0<= z<= 4x^2+4y^2,;0<= x<= y<=raiz1-x^2,;x<=tfracraiz22
O conteúdo é mudança de ordem e coordenadas cilíndricas (polares no plano xy). Vamos primeiro integrar em z e depois tratar a projeção no plano xy.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) fixo,
integralz=0^4(x^2+y^2)sen(z),dz =l[-cos(z)r]0^4(x^2+y^2) =1-cosl(4(x^2+y^2)r)
Logo a integral vira
integral duplaDl[1-cos(4(x^2+y^2))r],dx,dy,
onde D é a projeção de S no plano xy.

Passo 3

As restrições em D são
0<= x<= y, y<=raiz1-x^2, x<=tfracraiz22
Note que y<=raiz1-x^2 é o disco de raio 1, e 0<= x<= y com x,y>=0 corresponde ao setor angular thetain[pi/4,pi/2]. E como x=rcostheta<=raiz2/2 fica sempre satisfeito para r<=1 e thetain[pi/4,pi/2]. Assim em coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, rin[0,1],;thetainl[tfracpi4,tfracpi2r]
O elemento dx,dy vira r,dr,dtheta.

Passo 4

Escrevendo a integral em polares:
integral duplaDl[1-cos(4r^2)r],dx,dy =integraltheta=pi/4^pi/2integralr=0^1l[1-cos(4r^2)r],r,dr,dtheta
Para o integral em r usamos u=r^2, logo du=2r,dr:
integral0^1l[1-cos(4r^2)r]r,dr =12integral0^1l[1-cos(4u)r],du =12l[u-tfrac14sin(4u)r]0^1 =12l(1-tfrac14sin4r)

Passo 5

Agora integra em theta, que só multiplica pelo comprimento angular:
integralpi/4^pi/212l(1-tfrac14sin4r),dtheta =12l(1-tfrac14sin4r)l(tfracpi2-tfracpi4r) =12l(1-tfracsin44r)pi4 =pi8l(1-sin44r)

Resposta

boxedpi8l(1-sin44r)

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