Calcule
sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
no domínio
O conteúdo é mudança de ordem e coordenadas cilíndricas (polares no plano
). Vamos primeiro integrar em
e depois tratar a projeção no plano
.
Passo 2
Para cada ponto
fixo,
Logo a integral vira
onde
é a projeção de
no plano
.
Passo 3
As restrições em
são
Note que
é o disco de raio 1, e
com
corresponde ao setor angular
. E como
fica sempre satisfeito para
e
. Assim em coordenadas polares:
O elemento
vira
.
Passo 4
Escrevendo a integral em polares:
Para o integral em
usamos
, logo
:
Passo 5
Agora integra em
, que só multiplica pelo comprimento angular: