Seja
.
(a)
Dê um exemplo de uma curva
diferenciável (isto ć, as funções
são diferenciáveis) e contida na curva de nível
(isto é:
para todo
).
(b)* Determine a equação do plano tangente á superfície de nível dada implicitamente por
.
(c)* Mostre que
para todo
.
(a)
(b)* Determine a equação do plano tangente á superfície de nível dada implicitamente por
(c)* Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede três tarefas relativas à superfície de nível
:
(a) exibir uma curva diferenciável contida nessa superfície;
(b) determinar a equação do plano tangente a ela;
(c) mostrar que o gradiente de é ortogonal a qualquer vetor tangente à curva, i.e.,
. Vamos usar curvas de nível, gradiente e regra da cadeia.
(a) exibir uma curva diferenciável contida nessa superfície;
(b) determinar a equação do plano tangente a ela;
(c) mostrar que o gradiente de
Passo 2
Para (a), basta escolher uma curva em que
e
. Por exemplo,
Então
logo
é diferenciável e satisfaz
para todo
.
Passo 3
Para (b), computamos o gradiente
Em um ponto genérico
da superfície
, o vetor normal é
. Assim o plano tangente é dado por
isto é,
que se rearranja para
Passo 4
Para (c), consideramos a função composta
. Como ela é constante igual a
, pela regra da cadeia temos
Assim
é sempre ortogonal a
.
Resposta
(a)
.\n(b) No ponto
com
, o plano tangente é \n\n(c) Pela regra da cadeia,
, logo
.