Seja f(x, y, z)=x^2+4 y^2+9 z^2.
(a) ^* Dê um exemplo de uma curva gamma(t)=(x(t), y(t), z(t)) diferenciável (isto ć, as funções x, y, z: R R são diferenciáveis) e contida na curva de nível f=1 (isto é: f(gamma(t))=1 para todo t ).
(b)* Determine a equação do plano tangente á superfície de nível dada implicitamente por f(x, y, z)=1.
(c)* Mostre que nabla f(gamma(t)) cdot gamma^prime(t)=0 para todo t.

Passo 1

O enunciado define f(x,y,z)=x^2+4y^2+9z^2 e pede três tarefas relativas à superfície de nível f=1:
(a) exibir uma curva diferenciável contida nessa superfície;
(b) determinar a equação do plano tangente a ela;
(c) mostrar que o gradiente de f é ortogonal a qualquer vetor tangente à curva, i.e., nabla f(gamma(t))cdotgamma'(t)=0. Vamos usar curvas de nível, gradiente e regra da cadeia.

Passo 2

Para (a), basta escolher uma curva em que x(t)^2+4y(t)^2=1 e z(t)=0. Por exemplo,
x(t)=cos t, y(t)=tfrac12sin t, z(t)=0
Então
x(t)^2+4y(t)^2=cos^2t+4l(tfrac12sin tr)^2=cos^2t+sin^2t=1,
logo gamma(t)=(cos t,tfrac12sin t,0) é diferenciável e satisfaz f(gamma(t))=1 para todo t.

Passo 3

Para (b), computamos o gradiente
nabla f(x,y,z)=(2x,8y,18z)
Em um ponto genérico (x0,y0,z0) da superfície f=1, o vetor normal é nabla f(x0,y0,z0)=(2x0,8y0,18z0). Assim o plano tangente é dado por
nabla f(x0,y0,z0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0,
isto é,
2x0(x-x0)+8y0(y-y0)+18z0(z-z0)=0,
que se rearranja para
x0x+4y0y+9z0z=1

Passo 4

Para (c), consideramos a função composta tmapsto f(gamma(t)). Como ela é constante igual a 1, pela regra da cadeia temos
ddtf(gamma(t))=nabla f(gamma(t))cdotgamma'(t)=0
Assim nabla f(gamma(t)) é sempre ortogonal a gamma'(t).

Resposta

(a) .\n(b) No ponto com , o plano tangente é \n\n(c) Pela regra da cadeia, , logo .

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