Utilize a regra da cadeia para calcular d wd t nos casos abaixo
w=z raiz1+x y onde x(t)=tan (t), y(t)=arctan (t) e z(t)=t^2

Passo 1

O enunciado pede dwdt para
w = z ,raiz1 + x,y,
onde
x(t) = tan(t), y(t) = arctan(t), z(t) = t^2
O conteúdo envolve a regra do produto (pois w = zcdot F com F=raiz1+xy) e a regra da cadeia (para derivar F).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto:
dwdt = dzdt,raiz1+xy + z,ddtl(raiz1+xyr)
Como z(t)=t^2, temos
dzdt = 2t

Passo 3

Definimos
F = raiz1 + x,y = (1 + x,y)^tfrac12
Pela regra da cadeia,
dFdt = 12,(1 + x,y)^-tfrac12,ddt(1 + x,y)
E
ddt(1 + x,y) = x',y + x,y',
com
x(t)=tan t, x'(t)=sec^2 t,
y(t)=arctan t, y'(t)=11+t^2
Logo
ddt(1 + x,y) = sec^2 t;arctan t ;+;tan t;11+t^2

Passo 4

Reunindo tudo:
dwdt = 2t;raiz1 + tan t,arctan t ;+;t^2;12,(1 + tan t,arctan t)^-tfrac12 l(sec^2 t;arctan t + tan t1+t^2r)

Resposta

dwdt = 2t,raiz1 + tan t,arctan t ;+;t^22,raiz1 + tan t,arctan t l(sec^2 t,arctan t + tan t1+t^2r)

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