Reescreva a integral em coordenadas cilíndricas e calcule seu valor.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever em coordenadas cilíndricas a integral
integral0^1dxintegral0^raiz1-x^2dyintegral0^raiz1-x^2-y^2z,raizx^2+y^2;dz
e calcular seu valor. O conteúdo é mudança de variável para coordenadas cilíndricas, onde fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e usamos o jacobiano r.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração. Em x,y temos
0<= x<=1, 0<= y<=raiz1-x^2,
e em z
0<= z<=raiz1-x^2-y^2
Isto corresponde ao quarto de um semiesfera de raio 1 com x,y>=0 e z>=0. Em coordenadas cilíndricas isso vira
0<= r<=1, 0<=theta<=pi2, 0<= z<=raiz1-r^2

Passo 3

Transformamos o integrando. Temos raizx^2+y^2=r e o elemento de volume dx,dy,dz vira r,dr,dtheta,dz. Então
z,raizx^2+y^2;dx,dy,dz = z,r;(r,dr,dtheta,dz) = z,r^2,dr,dtheta,dz

Passo 4

Escrevemos a integral em cilíndricas e integramos em z primeiro:
integral0^pi/2dtheta integral0^1r^2l(integral0^raiz1-r^2z,dzr)dr
Calculando integral0^raiz1-r^2z,dz=12(1-r^2), fica
integral0^pi/2dtheta integral0^1r^2cdot1-r^22,dr =12cdotpi2 integral0^1(r^2-r^4),dr =pi4l[r^33-r^55r]0^1 =pi4l(13-15r)
Como 13-15=215, obtemos

Resposta

pi4cdot215=pi30

Exercícios relacionados