Reescreva a integral em coordenadas cilíndricas e calcule seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever em coordenadas cilíndricas a integral
e calcular seu valor. O conteúdo é mudança de variável para coordenadas cilíndricas, onde fazemos
e usamos o jacobiano
.
Passo 2
Vamos descrever a região de integração. Em
temos
e em
Isto corresponde ao quarto de um semiesfera de raio
com
e
. Em coordenadas cilíndricas isso vira
Passo 3
Transformamos o integrando. Temos
e o elemento de volume
vira
. Então
Passo 4
Escrevemos a integral em cilíndricas e integramos em
primeiro:
Calculando
, fica
Como
, obtemos