Calcule a integral trocando a ordem de integração integral0^1 integralx^1 e^y^2 d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1integralx^1 e^y^2 ,dy,dx
trocando a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas, e vamos precisar identificar a região de integração no plano xy para reescrever os limites.

Passo 2

A região de integração é
R = (x,y)mid 0<= x<= 1,;x<= y<= 1
Para trocar a ordem, fixamos y primeiro: y varia de 0 a 1, e para cada y o x varia de 0 a y. Assim a integral passa a ser
integraly=0^1integralx=0^y e^y^2 ,dx,dy

Passo 3

Na integral interna em x, e^y^2 é constante em relação a x. Logo,
integral0^y e^y^2 ,dx = e^y^2l[xr]0^y = y,e^y^2
Substituindo, a integral torna-se
integral0^1 y,e^y^2 ,dy

Passo 4

Para calcular integral0^1 y,e^y^2,dy, fazemos a substituição
t = y^2, dt = 2y,dy Longrightarrow y,dy = tfrac12,dt
Quando y vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. A integral fica
integral0^1 y,e^y^2,dy = tfrac12 integral0^1 e^t,dt = tfrac12l[e^tr]0^1 = e-12

Resposta

e - 12

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