Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o sólido
ou seja, um “bloco” de espessura de
na direção
, cujo teto é o plano
e cujo piso é a superfície cúbica
Passo 2
Identificamos as superfícies que limitam
:
– Planos verticais paralelos ao eixo :
– Planos verticais paralelos ao eixo
– Planos verticais paralelos ao eixo
:
– Superfície inferior (curva em
):
– Superfície superior (plano horizontal):
Passo 3
Para que haja região entre a superfície inferior e o teto, precisamos de
Assim, para
a “fatia” em
vai de
até
. Para
entre
e
não existe região (o piso ultrapassa o teto), mas isso não impede o esboço do sólido definido pelas desigualdades.
Passo 4
Como esboçar:
- Desenhe os três eixos
. - Marque as paredes verticais
e , e e , formando um “túnel retangular” em planta. - No plano
, desenhe o gráfico de que para vale , cresce passando por e atinge em . - Trace o plano horizontal
acima da curva. A região gerada é a “fatia” vertical entre essas duas superfícies, para cada onde . - Finalmente, extruda essa fatia ao longo de
de a .
O resultado é um bloco de altura variável (piso curvo) e teto plano, com profundidade
em
e extensão em
de
até
.
Resposta
O sólido é a região
isto é, um “prisma” de base
e
em que o piso é a curva
e o teto o plano
, extrudido em
de
a
.