Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada integral0^2 integral-2^2 integraly^3+1^8 d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o sólido
R=(x,y,z)mid 0<= x<= 2,;-2<= y<= 2,;y^3+1<= z<= 8
ou seja, um “bloco” de espessura de 2 na direção x, cujo teto é o plano z=8 e cujo piso é a superfície cúbica

Passo 2

Identificamos as superfícies que limitam R:
– Planos verticais paralelos ao eixo yz:
x=0
x=2
– Planos verticais paralelos ao eixo xz:
y=-2
y=2
– Superfície inferior (curva em y):
z=y^3+1
– Superfície superior (plano horizontal):
z=8

Passo 3

Para que haja região entre a superfície inferior e o teto, precisamos de
y^3+1<=8 Longrightarrow y^3<=7 Longrightarrow y<=raiz[,3]7approx1,91
Assim, para -2<= y<=raiz[3]7 a “fatia” em z vai de z=y^3+1 até z=8. Para y entre raiz[3]7 e 2 não existe região (o piso ultrapassa o teto), mas isso não impede o esboço do sólido definido pelas desigualdades.

Passo 4

Como esboçar:
  1. Desenhe os três eixos x,y,z.
  2. Marque as paredes verticais x=0 e x=2, e y=-2 e y=2, formando um “túnel retangular” em planta.
  3. No plano y-z, desenhe o gráfico de z=y^3+1, que para y=-2 vale z=-7, cresce passando por (0,1) e atinge z=9 em y=2.
  4. Trace o plano horizontal z=8 acima da curva. A região gerada é a “fatia” vertical entre essas duas superfícies, para cada y onde y^3+1<=8.
  5. Finalmente, extruda essa fatia ao longo de x de 0 a 2.
O resultado é um bloco de altura variável (piso curvo) e teto plano, com profundidade 2 em x e extensão em y de -2 até +!2.

Resposta

O sólido é a região
0<= x<=2, -2<= y<=2, y^3+1<= z<=8,
isto é, um “prisma” de base -2<= y<=2 e -7<= z<=8 em que o piso é a curva z=y^3+1 e o teto o plano z=8, extrudido em x de 0 a 2.

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