Sejam f(x)=12[a^x+a^-x] e g(x)=12[a^x-a^-x], a>0, a neq 1. Verifique que:
a) f(x+y)=f(x) f(y)+g(x) g(y)

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=12l(a^x + a^-xr), g(x)=12l(a^x - a^-xr),
com a>0, aneq1, e pede para verificar que
f(x+y)=f(x),f(y)+g(x),g(y)
Vamos usar propriedades de potência e manipular algebricamente as expressões.

Passo 2

Calcular f(x+y):
f(x+y) = 12l(a^x+y + a^-(x+y)r) = 12l(a^x a^y + a^-x a^-yr)

Passo 3

Calcular f(x)f(y)+g(x)g(y):
f(x)f(y) + g(x)g(y) = 14l(a^x + a^-xr)l(a^y + a^-yr) + 14l(a^x - a^-xr)l(a^y - a^-yr)
Expandindo dentro dos parênteses, obtemos
14l(a^x a^y + a^x a^-y + a^-x a^y + a^-x a^-y +a^x a^y - a^x a^-y - a^-x a^y + a^-x a^-yr)

Passo 4

Nos termos expandidos os produtos mistos a^x a^-y e a^-x a^y se cancelam, restando
f(x)f(y)+g(x)g(y) = 14l(2a^x a^y + 2a^-x a^-yr) = 12l(a^x a^y + a^-x a^-yr) = f(x+y)

Resposta

A identidade ,f(x+y)=f(x),f(y)+g(x),g(y), está verificada.

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