Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido
, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
d) Na ordem de integração
, ou seja, em que
é a variável totalmente dependente,
é a variável parcialmente dependente e
é a variável independente, podemos utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de
? Se sim, apresente os limitantes de integração. Caso contrário, justifique a impossibilidade do uso de uma única integral tripla e utilize duas ou mais integrais triplas para calcular o volume de
nesta ordem de integração.
d) Na ordem de integração
Passo 1
O sólido S é o conjunto de pontos (x,y,z) limitados pelo cilindro elíptico 9x²+16z²=144 e pelo plano 3y+9z=27, supondo ainda y≥0 e z≥0 para fechar o volume. Vamos usar integração tríplice, na ordem dz
dx
dy.
dx
dy.
Passo 2
Para cada (x,y) fixo, o z varre desde o plano z=0 até a superfície superior que é a menor entre o cilindro e o plano. Do cilindro temos z≤√((144−9x²)/16)=¼√(144−9x²). Do plano temos z≤(27−3y)/9=3−y/3.
Passo 3
Como o teto de z é z≤min\bigl(¼√(144−9x²),3−y/3\bigr), não dá para usar um único limite de z válido para todo (x,y). Precisamos dividir a projeção em duas regiões: numa delas o teto é o plano, noutra é o cilindro.
Passo 4
Encontre a região R₁ em que 3−y/3≤¼√(144−9x²). Ao quadrar e reorganizar, isso dá 81x²+16(y−9)²≤1296, que podemos reescrever para cada y∈[0,9]:
x∈\bigl[-\tfrac{4}{9}\√{y(18−y)},\tfrac{4}{9}\√{y(18−y)}\bigr].
x∈\bigl[-\tfrac{4}{9}\√{y(18−y)},\tfrac{4}{9}\√{y(18−y)}\bigr].
Passo 5
Na região complementar R₂ da projeção (ainda com y∈[0,9]), temos x∈\bigl[-4,-\tfrac{4}{9}\√{y(18−y)}\bigr]∪\bigl[\tfrac{4}{9}\√{y(18−y)},4\bigr], e aí o teto de z vem do cilindro.
Passo 6
Portanto, o volume V de S nessa ordem dz
dx
dy é a soma de duas integrais: uma em R₁ com teto pelo plano, outra em R₂ com teto pelo cilindro.
dx
dy é a soma de duas integrais: uma em R₁ com teto pelo plano, outra em R₂ com teto pelo cilindro.