Calcule a integral, trocando a ordem de integração
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^raizpi integraly^raizpi cosl(x^2r),dx,dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e aplicação do Teorema de Fubini.

Passo 2

Descrevemos a região de integração
R = (x,y)mid 0 <= y <= raizpi,; y <= x <= raizpi
Invertendo a ordem, first x varia de 0 a raizpi e para cada x, y varia de 0 a x. Logo
integral0^raizpi integraly^raizpi cos(x^2),dx,dy =integral0^raizpi integral0^x cos(x^2),dy,dx

Passo 3

Na integral
integral0^raizpi integral0^x cos(x^2),dy,dx
a função cos(x^2) independe de y, então a integral interna em y é
integral0^x cos(x^2),dy = x,cos(x^2)
Portanto o duplo integral vira
integral0^raizpi x,cos(x^2),dx

Passo 4

Para calcular
integral0^raizpi x,cos(x^2),dx
fazemos a substituição u=x^2, daí du=2x,dx, isto é x,dx=tfrac12,du. A integral fica
integral0^pi cos(u),du2 =tfrac12integral0^pi cos(u),du =tfrac12l[sin(u)r]0^pi

Passo 5

Avaliando,
tfrac12l[sin(pi)-sin(0)r] =tfrac12,(0-0) =0

Resposta

0

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