Calcule os limites a seguir.
lim x 1 x^7-1x^3-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limx to 1 x^7-1x^3-1
O conteúdo aqui é cálculo de limite, com indeterminação do tipo tfrac00. Podemos resolver usando fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Testando a substituição direta x=1, obtemos
1^7-11^3-1=00,
ou seja, temos indeterminação da forma tfrac00, então precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Lembrando a fatoração de diferença de potências, para ninN vale
a^n - b^n = (a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+b^n-1r)

Passo 4

Aplicando em cada diferença de potências:
x^7 - 1 = (x-1)l(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1r),
x^3 - 1 = (x-1)l(x^2 + x + 1r)

Passo 5

Cancelando o fator comum (x-1), a fração simplifica para
x^7-1x^3-1 = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1x^2 + x + 1

Passo 6

Agora essa nova expressão é contínua em x=1, então basta substituir:
o numerador em x=1 é
1^6 + 1^5 + 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 7,
e o denominador em x=1 é
1^2 + 1 + 1 = 3
Logo o limite é
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Resposta

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