Calcule a integral, trocando a ordem de integração
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui envolve descrição da região de integração no plano, troca de ordem e, por fim, integração de uma função do tipo
via substituição.
Passo 2
Vamos caracterizar a região
no plano
. As condições são
A desigualdade
é equivalente a
. Como
e
, concluímos que, invertendo a ordem,
varia de
até
.
Passo 3
Para cada
, o
correspondente varia de
até
. Assim a integral invertida fica
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
, lembrando que
é constante em relação a
:
Passo 5
A integral dupla reduz-se a
Fazendo a substituição
e observando que
e
,
Passo 6
temos