Calcule a integral, trocando a ordem de integração
integral0^8 integralraiz[3]y^8 e^x^4 d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^8!integralraiz[3]y^8 e^x^4;dx;dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui envolve descrição da região de integração no plano, troca de ordem e, por fim, integração de uma função do tipo x^3e^x^4 via substituição.

Passo 2

Vamos caracterizar a região D no plano (x,y). As condições são
0<= y<= 8 e raiz[3]y<= x<= 8
A desigualdade x>= raiz[3]y é equivalente a y<= x^3. Como y>=0 e x<=8, concluímos que, invertendo a ordem, x varia de 0 até 8.

Passo 3

Para cada xin[0,8], o y correspondente varia de 0 até x^3. Assim a integral invertida fica
integral0^8!integral0^x^3 e^x^4;dy;dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y, lembrando que e^x^4 é constante em relação a y:
integral0^x^3 e^x^4;dy = e^x^4;l[yr]0^x^3 = x^3e^x^4

Passo 5

A integral dupla reduz-se a
integral0^8 x^3e^x^4;dx
Fazendo a substituição
u = x^4, du = 4x^3,dxLongrightarrow x^3,dx = du4,
e observando que x=0mapsto u=0 e x=8mapsto u=8^4=4096,

Passo 6

temos
integral0^8 x^3e^x^4;dx = 14integral0^4096 e^u;du = 14l[e^ur]0^4096 = 14l(e^4096-1r)

Resposta

e^4096-14

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