Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.

Passo 1

O enunciado descreve uma escada de comprimento constante ,25 pés encostada na parede, cuja base está a uma distância ,x(t) do pé da parede e sobe até uma altura ,y(t). A base se afasta da parede a uma taxa conhecida ,dxdt=2 pés/s. Queremos saber quão rápido varia a área do triângulo formado pela parede, pela escada e pelo chão no instante em que x=7 pés.

Passo 2

Da geometria do triângulo retângulo, vale o Teorema de Pitágoras:
x^2 + y^2 = 25^2

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
2x,dxdt + 2y,dydt = 0,
logo
dydt = -xy,dxdt

Passo 4

No instante em que x=7 pés e dxdt=2 pés/s, calculamos y por
y = raiz25^2 - 7^2 = raiz625 - 49 = 24 pés, é
e então
dydt = -724cdot 2 = -712 pé/s é

Passo 5

A área do triângulo é
A = 12,x,y
Derivando em relação a t:
dAdt = 12l(x,dydt + y,dxdtr)

Passo 6

Substituindo x=7, y=24, dxdt=2 e dydt=-tfrac712:
dAdt = 12l(7cdotl(-tfrac712r) + 24cdot 2r) = 12l(-tfrac4912 + 48r) = 12cdot 52712 = 52724 pés^2!/s é

Resposta

dAdt = 52724 pés^2!/s é

Exercícios relacionados