Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.
Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.
Passo 1
O enunciado descreve uma escada de comprimento constante
pés encostada na parede, cuja base está a uma distância
do pé da parede e sobe até uma altura
. A base se afasta da parede a uma taxa conhecida
pés/s. Queremos saber quão rápido varia a área do triângulo formado pela parede, pela escada e pelo chão no instante em que
pés.
Passo 2
Da geometria do triângulo retângulo, vale o Teorema de Pitágoras:
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
, obtemos
logo
Passo 4
No instante em que
pés e
pés/s, calculamos
por
e então
Passo 5
A área do triângulo é
Derivando em relação a
:
Passo 6
Substituindo
,
,
e
: